Considere a função
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
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Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9 $. Queremos determinar os intervalos onde a função está crescendo e decrescendo. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções.
Passo 2
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, a função está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função muda de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
Podemos fatorar a expressão:
Assim, os pontos críticos são:
Passo 5
Com os pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = 2 $, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos para testar o sinal da derivada em cada um deles:
- $ (-\infty, 0) $
- $ (0, 2) $
- $ (2, +\infty) $
Passo 6
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e avaliar o sinal de $ f’(x) $:
-
Intervalo $ (-\infty, 0) $:
- Escolha $ x = -1 $:
Então, a função está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo $ (0, 2) $:
- Escolha $ x = 1 $:
Então, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo $ (2, +\infty) $:
- Escolha $ x = 3 $:
Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
Portanto, a função $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9 $ está crescendo nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $, e está decrescendo no intervalo $ (0, 2) $.