Considere a função f(x)=x^wed>=3-3x^wed>=2-9
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9 $. Queremos determinar os intervalos onde a função está crescendo e decrescendo. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções.

Passo 2

Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, a função está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Calculando cada termo:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(3x^2) - ddx(9)
Então,
f'(x) = 3x^2 - 6x - 0

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função muda de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
3x^2 - 6x = 0
Podemos fatorar a expressão:
3x(x - 2) = 0
Assim, os pontos críticos são:
x = 0 ou x = 2

Passo 5

Com os pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = 2 $, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos para testar o sinal da derivada em cada um deles:
  1. $ (-\infty, 0) $
  2. $ (0, 2) $
  3. $ (2, +\infty) $

Passo 6

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e avaliar o sinal de $ f’(x) $:
  1. Intervalo $ (-\infty, 0) $:
    • Escolha $ x = -1 $:
    f'(x)
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo $ (0, 2) $:
    • Escolha $ x = 1 $:
    (-infty, 0)
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo $ (2, +\infty) $:
    • Escolha $ x = 3 $:
    x = -1
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9 $ está crescendo nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $, e está decrescendo no intervalo $ (0, 2) $.

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