Use o método dos coeficientes indeterminados e encontre a solução geral das seguintes EDO’s.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em obter primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
fazemos a substituição
, obtendo a equação característica
As raízes são
isto é,
e
.
Logo
Logo
Passo 3
Para a particular, o termo não homogêneo é soma de um polinômio de grau 2 e de
. Como não há conflito com as raízes
e
, propomos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos em
e agrupamos termos polinomiais e trigonométricos.
Para o polinomial:
Para o polinomial:
Para o trigonométrico:
Passo 6
Igualamos os coeficientes do polinômio a
:
Passo 7
Igualamos os coeficientes de
e
a
:
Da segunda
. Substituindo na primeira:
Passo 8
Escrevendo a solução particular com esses valores:
Passo 9
A solução geral da EDO é a soma de
com
: