O conteúdo aqui é: (i) encontrar a solução complementar y_c da equação homogênea associada, via equação característica, e (ii) obter uma solução particular y_p por coeficientes a determinar, somando as partes polinomial, exponencial vezes polinomial e trigonométrica.
Passo 2
Equação homogênea:
y'' + 3y' = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r = r(r+3) = 0
com raízes r=0 e r=-3.
Logo, a solução complementar é
y_c(t) = C_1 + C_2 e^{-3t}.
Passo 3
Para a parte não homogênea 2t^4 + t^2 e^{-3t} + \operatorname{sen}(3t), buscamos
y_p = y_{p1} + y_{p2} + y_{p3}
onde:
y_{p1} atende 2t^4. Como r=0 é raiz, multiplicamos por t um polinômio de grau 4, isto é
y_{p1}(t) = t\big(A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t + E\big).
y_{p2} atende t^2 e^{-3t}. Como r=-3 é raiz, multiplicamos por t um polinômio de grau 2, ou seja
y_{p2}(t) = e^{-3t}\,t\big(Gt^2 + Ht + I\big) = e^{-3t}(G t^3 + H t^2 + I t).
y_{p3} atende \operatorname{sen}(3t) sem ressonância, logo tentamos
y_{p3}(t) = K\cos(3t) + M\sin(3t).
Passo 4
Determinação de y_{p1}. Seja
y_{p1} = A t^5 + B t^4 + C t^3 + D t^2 + E t.
Então
y_{p1}' = 5A t^4 + 4B t^3 + 3C t^2 + 2D t + E, \quad y_{p1}'' = 20A t^3 + 12B t^2 + 6C t + 2D.