Use o método dos coeficientes indeterminados e encontre a solução geral das seguintes EDO’s.
2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=t^{2}+3 \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2\,y''+3\,y'+y = t^2 + 3\sin(t)
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em obter primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
2\,y''+3\,y'+y = 0
fazemos a substituição y=e^{rt}, obtendo a equação característica
2r^2 + 3r +1 = 0.
As raízes são
r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4},
isto é, r_1 = -1/2 e r_2 = -1.
Logo
y_h = C_1 e^{-t/2} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Para a particular, o termo não homogêneo é soma de um polinômio de grau 2 e de \sin(t). Como não há conflito com as raízes -\tfrac12 e -1, propomos
y_p = At^2 + Bt + C + D\sin(t) + E\cos(t).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = 2A\,t + B + D\cos(t) - E\sin(t),
y_p'' = 2A - D\sin(t) - E\cos(t).

Passo 5

Substituímos em 2y''+3y'+y e agrupamos termos polinomiais e trigonométricos.
Para o polinomial:
2(2A) + 3(2A\,t+B) + (At^2+Bt+C) = At^2 + (6A+B)t + (4A+3B+C).
Para o trigonométrico:
2(-D\sin t - E\cos t) + 3(D\cos t - E\sin t) + (D\sin t + E\cos t)
= (-D -3E)\sin t \;+\; (3D - E)\cos t.

Passo 6

Igualamos os coeficientes do polinômio a t^2 + 0\,t + 0: A = 1, 6A + B = 0 \implies B = -6, 4A + 3B + C = 0 \implies 4 -18 + C = 0 \implies C = 14.

Passo 7

Igualamos os coeficientes de \sin t e \cos t a 3\sin t + 0\cos t:
-\,D -3E = 3, \quad 3D - E = 0.
Da segunda E = 3D. Substituindo na primeira:
D + 3(3D) = -3 \implies 10D = -3 \implies D = -\tfrac{3}{10},
E = 3\,\bigl(-\tfrac{3}{10}\bigr) = -\tfrac{9}{10}.

Passo 8

Escrevendo a solução particular com esses valores:
y_p = t^2 -6t +14 \;-\;\tfrac{3}{10}\sin(t)\;-\;\tfrac{9}{10}\cos(t).

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma de y_h com y_p:
y(t) = C_1 e^{-t/2} + C_2 e^{-t} + t^2 -6t +14 - \frac{3}{10}\sin(t) - \frac{9}{10}\cos(t).

Resposta

\boxed{y(t) = C_1 e^{-t/2} + C_2 e^{-t} + t^2 -6t +14 - \frac{3}{10}\sin(t) - \frac{9}{10}\cos(t).}

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