Use o método dos coeficientes indeterminados e encontre a solução geral das seguintes EDO’s.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^{2t}
usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos (i) resolver a equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular apropriada para o termo não homogêneo 3e^{2t}.

Passo 2

Resolvemos primeiro a parte homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0,
cuja fatoração
(r - 3)(r + 1) = 0
dá as raízes r=3 e r=-1. Logo, a solução geral da homogênea é
y_c(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Para o termo não homogêneo 3e^{2t}, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como e^{2t} não é solução da homogênea (ou seja, r=2 não é raiz da característica), fazemos o palpite
y_p(t) = A e^{2t},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na EDO:
y_p' = 2A e^{2t}, \qquad y_p'' = 4A e^{2t}.
Substituindo em y'' - 2y' -3y:
(4A e^{2t}) - 2(2A e^{2t}) - 3(A e^{2t}) = \bigl(4A - 4A - 3A\bigr)e^{2t} = -3A e^{2t}.
Queremos que isso seja igual a 3e^{2t}. Logo,
-3A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -1.
Assim,
y_p(t) = -\,e^{2t}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_c(t) + y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - e^{2t}.

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