Use o método dos coeficientes indeterminados e encontre a solução geral das seguintes EDO’s.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos (i) resolver a equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular apropriada para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Resolvemos primeiro a parte homogênea
A equação característica é
cuja fatoração
dá as raízes
e
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para o termo não homogêneo
, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como
não é solução da homogênea (ou seja,
não é raiz da característica), fazemos o palpite
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na EDO:
Substituindo em
:
Queremos que isso seja igual a
. Logo,
Assim,
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral é