Use o método dos coeficientes indeterminados e resolva os problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t}, y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O problema é o valor inicial
y'' + 4y = t^2 + 3e^t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=2.
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em (1) encontrar a solução geral da homogênea e (2) adicionar uma solução particular para cada termo do segundo membro.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y_h'' + 4y_h = 0
a equação característica é
r^2 + 4 = 0\quad\Rightarrow\quad r = \pm 2i.
Logo
y_h(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t).

Passo 3

Procuramos solução particular para o termo polinomial t^2. Tomamos
y_{p1}(t) = A\,t^2 + B\,t + C.
Então
y_{p1}'' = 2A, \quad y_{p1}'' + 4y_{p1} = 2A + 4\bigl(A t^2 + B t + C\bigr) = 4A\,t^2 + 4B\,t + (2A + 4C).
Igualando a t^2 temos
4A = 1,\quad 4B = 0,\quad 2A+4C=0
\Rightarrow\quad A=\tfrac14,\;B=0,\;C=-\tfrac18.

Passo 4

Procuramos solução particular para o termo 3e^t. Tomamos
y_{p2}(t) = D\,e^t,
y_{p2}'' + 4y_{p2} = D\,e^t + 4D\,e^t = 5D\,e^t \overset{!}{=} 3\,e^t \quad\Rightarrow\quad D = \tfrac35.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) + \tfrac14\,t^2 - \tfrac18 + \tfrac35\,e^t.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + 0 - \tfrac18 + \tfrac35 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \tfrac18 - \tfrac35 = -\tfrac{19}{40}.
  1. Calculando y'(t):
y'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac12\,t + \tfrac35\,e^t,
logo em t=0,
y'(0) = -2C_1\cdot0 + 2C_2\cdot1 + 0 + \tfrac35 = 2 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 = 2 - \tfrac35 = \tfrac{7}{5} \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{7}{10}.

Resposta

\boxed{ y(t) = -\tfrac{19}{40}\cos(2t) + \tfrac{7}{10}\sin(2t) + \tfrac14\,t^2 - \tfrac18 + \tfrac35\,e^t. }

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