Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada.
y^prime prime+y^prime-12 y=e^-4 x+3 e^3 x sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + y' - 12y = e^-4x + 3e^3xsin(2x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar primeiro achar a solução geral da homogênea associada e depois somar uma solução particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y' - 12y = 0
Assumimos y=e^rx, o que leva à equação característica
r^2 + r - 12 = 0 Longrightarrow (r+4)(r-3)=0
com raízes r=-4 e r=3. Portanto a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^-4x + C2 e^3x

Passo 3

Para o termo e^-4x, como -4 é raiz simples da característica, tentamos
yp1 = A,x,e^-4x
Calculando as derivadas:
yp1' = A e^-4x(1 - 4x), yp1'' = A e^-4x(16x - 8)
Substituindo em y''+y'-12y:
L[yp1] = A e^-4xl[(16x-8)+(1-4x)-12xr] = A e^-4x(-7) = -7A,e^-4x
Queremos L[yp1]=e^-4x, logo -7A=1 e
A = -tfrac17

Passo 4

Para o termo
Calculando e e reunindo em , obtemos após simplificar:
Igualando a dá o sistema
Da primeira equação vem (K = \tfrac{7}{2}M]. Substituindo na segunda,

Passo 5

A solução particular completa é
yp = yp1 + yp2 = -tfrac17,x,e^-4x + e^3xl(-tfrac21106cos(2x)-tfrac353sin(2x)r)
Somando com a homogênea, a solução geral é
y(x) = C1 e^-4x + C2 e^3x -tfrac17,x,e^-4x + e^3xl(-tfrac21106cos(2x)-tfrac353sin(2x)r)

Resposta

y(x) = C1 e^-4x + C2 e^3x -tfrac17,x,e^-4x + e^3xl(-tfrac21106cos(2x)-tfrac353sin(2x)r)

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