Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
d/dt x = 5 x + 9 y + 2 d/dt y = -x + 11 y + 6

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de coeficientes indeterminados. O que temos aqui são duas equações que relacionam as derivadas de e com , e termos constantes. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre sistemas lineares e métodos para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui, e são as derivadas de e em relação ao tempo .

Passo 3

O método de coeficientes indeterminados é usado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem os termos constantes:

Passo 4

Para resolver o sistema homogêneo, vamos escrever a equação característica. Isso envolve encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
Calculamos o determinante de :
Expandindo:

Passo 5

Resolvemos a equação característica :
Então, temos um autovalor duplo .

Passo 6

Com um autovalor duplo, a solução geral da parte homogênea é:
Onde é o vetor próprio correspondente a . Encontramos resolvendo :
Resolvendo, obtemos .

Passo 7

Agora, a solução homogênea é:

Passo 8

Em seguida, encontramos a solução particular para o sistema completo. Assumimos uma solução constante, já que os termos constantes no sistema são constantes:
Derivando, temos e .

Passo 9

Substituindo no sistema original:
Vamos resolver esse sistema de equações algebricas para encontrar e .

Passo 10

Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 11

A solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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