Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de coeficientes indeterminados. O que temos aqui são duas equações que relacionam as derivadas de
e
com
,
e termos constantes. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre sistemas lineares e métodos para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui,
e
são as derivadas de
e
em relação ao tempo
.
Passo 3
O método de coeficientes indeterminados é usado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem os termos constantes:
Passo 4
Para resolver o sistema homogêneo, vamos escrever a equação característica. Isso envolve encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
Calculamos o determinante de
:
Expandindo:
Passo 5
Resolvemos a equação característica
:
Então, temos um autovalor duplo
.
Passo 6
Com um autovalor duplo, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
é o vetor próprio correspondente a
. Encontramos
resolvendo
:
Resolvendo, obtemos
.
Passo 7
Agora, a solução homogênea é:
Passo 8
Em seguida, encontramos a solução particular
para o sistema completo. Assumimos uma solução constante, já que os termos constantes no sistema são constantes:
Derivando, temos
e
.
Passo 9
Substituindo
no sistema original:
Vamos resolver esse sistema de equações algebricas para encontrar
e
.
Passo 10
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 11
A solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.