(3.0) Use o método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros para achar la solução geral da seguinte EDO
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
Como é um problema de equação linear com termo não homogêneo do tipo
, podemos usar coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução homogênea e depois uma particular.
Passo 2
A parte homogênea é
O polinômio característico é
Suas raízes
não são racionais, então a escrevemos genericamente e a solução homogênea fica
onde
são as três raízes (uma real e duas complexas conjugadas) de
.
Passo 3
Para a solução particular, como o termo forçante é
e
não anula o característico (isto é,
não é raiz), fazemos o ansatz
Calculamos então as derivadas:
Passo 4
Substituindo na EDO:
No colchete o coeficiente de
é
e o termo constante é
Exigindo que isso iguale a
, obtemos
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
são as raízes de
.
Resposta
com
.