(3.0) Use o método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros para achar la solução geral da seguinte EDO
y^(3)-2 y^prime prime+4 y=t e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^(3)-2y''+4y = t,e^-t
Como é um problema de equação linear com termo não homogêneo do tipo P1(t)e^alpha t, podemos usar coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução homogênea e depois uma particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y^(3)-2y''+4y = 0
O polinômio característico é
r^3 -2r^2+4 = 0
Suas raízes r1,r2,r3 não são racionais, então a escrevemos genericamente e a solução homogênea fica
yh(t) = C1e^r1t+C2e^r2t+C3e^r3t,
onde r1,r2,r3 são as três raízes (uma real e duas complexas conjugadas) de r^3-2r^2+4=0.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é t,e^-t e -1 não anula o característico (isto é, r=-1 não é raiz), fazemos o ansatz
yp(t) = (A,t + B)e^-t
Calculamos então as derivadas:
yp' = (A - A,t - B)e^-t, yp'' = l(A,t + (B-2A)r)e^-t, yp''' = l(-A,t + (3A - B)r)e^-t

Passo 4

Substituindo na EDO:
yp''' -2yp'' +4yp = l[-A,t+(3A-B)r]e^-t -2l[A,t+(B-2A)r]e^-t +4l[A,t+Br]e^-t
No colchete o coeficiente de t é
- A -2A +4A = A,
e o termo constante é
(3A - B) -2(B-2A) +4B =7A + B
Exigindo que isso iguale a t, obtemos
A=1, 7A + B = 0;Longrightarrow;B=-7
Logo
yp(t) = (t-7)e^-t

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C1e^r1t+C2e^r2t+C3e^r3t ;+;(t-7)e^-t,
onde r1,r2,r3 são as raízes de r^3-2r^2+4=0.

Resposta

y(t) = C1e^r1t+C2e^r2t+C3e^r3t +(t-7)e^-t,
com r^3-2r^2+4=0.

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