Use o método da eliminação para encontrar a solução dos seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias (por exemplo, explicite y(t) na primeira edo e calcule y^prime(t); em seguida, use a outra edo e determine x(t)):
x^prime=3 x-y, & x(0)=3 y^prime=x+y, & y(0)=0

Passo 1

Temos o sistema de EDOs de primeira ordem:
x' = 3x - y, x(0)=3
y' = x + y, y(0)=0
O conteúdo é sistemas lineares e vamos usar o método de eliminação para achar primeiro x(t) e depois y(t).

Passo 2

Da primeira equação isolamos y:
y = 3x - x'
Em seguida, derivamos essa expressão para obter y':
y' = 3x' - x''

Passo 3

Agora substituímos y e y' na segunda equação y' = x + y:
3x' - x'' = x + (3x - x') = 4x - x'
Reorganizando, chegamos a uma EDO de segunda ordem em x:
x'' - 4x' + 4x = 0

Passo 4

A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 ,Longrightarrow, (r-2)^2 = 0
Logo a solução geral para x(t) é
x(t) = (C1 + C2 t)e^2t

Passo 5

Usamos as condições iniciais. De x(0)=3 vem
C1 = 3
E de x'(0)=3x(0)-y(0)=9 temos, calculando x'(t)=(9+6t)e^2t, que em t=0
9 = x'(0) = 9 + C2 Longrightarrow C2 = 3
Portanto
x(t) = (3 + 3t)e^2t

Passo 6

Finalmente, voltamos a y = 3x - x'. Substituindo x(t) e seu derivado x'(t)=(9+6t)e^2t:
y(t) = 3(3+3t)e^2t - (9+6t)e^2t = 3t ,e^2t

Resposta

x(t) = (3 + 3t)e^2t, y(t) = 3t,e^2t

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