Ache os pontos de máximo local e mínimo local da função f(x)=-x^3+6^2+15 x-3.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo local e mínimo local da função de variável real dada por f(x)=-x^3+6x^2+15x-3. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas primeira e segunda para localizar e classificar pontos críticos.

Passo 2

Começamos calculando a derivada primeira de f(x). Lembrando que a derivada de -x^3 é -3x^2, de 6x^2 é 12x e de 15x é 15.
f'(x)=-3x^2+12x+15

Passo 3

Agora determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
-3x^2+12x+15=0
Dividindo ambos os lados por -3 fica x^2-4x-5=0, cuja solução é
x=4pmraiz16+202=4pm62implies x=-1 ou x=5

Passo 4

Para classificar cada ponto, calculamos a derivada segunda:
f''(x)=-6x+12
Em x=-1 temos f''(-1)=-6(-1)+12=18>0, logo é mínimo local.
Em x=5 temos f''(5)=-6cdot5+12=-18<0, logo é máximo local.

Passo 5

Finalmente, achamos os valores de f(x) nesses pontos para obter as coordenadas completas.
Para x=-1:
f(-1)=-(-1)^3+6(-1)^2+15(-1)-3=1+6-15-3=-11
Para x=5:
f(5)=-5^3+6cdot5^2+15cdot5-3=-125+150+75-3=97

Resposta

Mínimo local em (-1, -11) e máximo local em (5, 97).

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