Use o método do escalonamento para determinar a solução do sistema abaixo:
\left\{\begin{aligned}
4 x-3 y+z & =3 \\
3 x+y+4 z & =-1 \\
5 x-2 y+3 z & =2
\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método do escalonamento (eliminações com operações elementares em linhas) para determinar a solução do sistema abaixo. O sistema dado é:
São três equações lineares em três incógnitas \;x,y,z.
Deve-se aplicar o método de escalonamento (operações em linhas da matriz aumentada) para encontrar a solução do sistema.]
Passo 2
Primeiro passo prático do escalonamento: escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes das incógnitas e o vetor dos termos constantes numa única matriz:
Explicação didática rápida sobre a ideia do escalonamento: a meta é, usando apenas operações elementares de linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra), transformar essa matriz numa forma escalonada em que apareçam zeros abaixo de alguns pivôs, facilitando a resolução por substituição. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.]
Passo 3
Escolhemos como primeiro pivô o elemento \;4 da primeira linha. Vamos zerar as entradas abaixo deste pivô (coluna 1) usando combinações lineares:
Fazer \;R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{3}{4}R_1.
Fazer \;R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{5}{4}R_1.
Calculemos cada nova linha com cuidado (mostrando as contas):
Observação útil: as duas novas linhas possuem coeficientes proporcionais. Podemos simplificar cada uma dividindo pelo fator comum para ficar mais legível.
Dividir R_2 por \dfrac{13}{4} (ou multiplicar por \dfrac{4}{13}) dá
R_2 \leftarrow \left[0,1,1\mid -1\right],
pois \dfrac{13}{4}\div\dfrac{13}{4}=1 e -\dfrac{13}{4}\div\dfrac{13}{4}=-1.
Dividir R_3 por \dfrac{7}{4} (ou multiplicar por \dfrac{4}{7}) dá
Explicação didática: dividir uma linha por escalar não nulo é uma operação elementar válida. Tornar as linhas mais simples facilita ver dependências entre equações.]
Passo 5
Agora zeramos a entrada abaixo do pivô da segunda coluna (o pivô é o 1 em R_2). Fazer:
Interpretação: a terceira linha agora é a equação \;0=0, que é verdadeira para qualquer valor das incógnitas — isto significa que as três equações originais são linearmente dependentes e o sistema tem menos equações independentes do que incógnitas. Portanto esperamos infinitas soluções (um parâmetro livre).]
Passo 6
Resolver o sistema escalonado por substituição direta. As equações correspondentes às linhas não-nulas são:
Da linha 2:
\;y + z = -1.
Da linha 1:
\;4x - 3y + z = 3.
Como há uma variável livre, escolhemos a variável \;z como parâmetro livre. Seja
z = t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Usando \;y + z = -1, obtemos
y = -1 - z = -1 - t.
Substituímos y e z na primeira equação para encontrar x: