1. Utilize o escalonamento para obter a solução do sistema linear:
\left\{\begin{aligned} x+y+2 z & =8 \\ x-2 y+3 z & =1 \\ 3 x-7 y+4 z & =10 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede a solução (x,y,z):
\left\{\begin{aligned} x+y+2 z & =8, \\\ x-2 y+3 z & =1, \\\\ 3 x-7 y+4 z & =10. \end{aligned}\right.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • São três equações lineares em três incógnitas x, y e z.
  • O objetivo é encontrar os valores numéricos de x, y e z que satisfazem simultaneamente as três equações.

Passo 2

Vou usar o escalonamento (eliminação de Gauss). Antes de começar, uma explicação rápida e prática do que farei:
  • Representa-se o sistema como uma matriz aumentada, juntando os coeficientes e a coluna dos termos independentes.
  • As operações elementares permitidas nas linhas são:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por uma constante não nula;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra.
      Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema e servem para transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior (escalonada), a partir da qual se resolve por retro-substituição.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes das equações dadas):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminar a variável x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
  • Faça R_2 \leftarrow R_2 - R_1. Calculando termo a termo: R_2: \\ (1-1,\\\ -2-1,\\\ 3-2,\\\ 1-8) = (0,\\\ -3,\\\ 1,\\\ -7).
  • Faça R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Calculando termo a termo: R_3: \\ (3-3,\\\ -7-3,\\\ 4-6,\\\ 10-24) = (0,\\\ -10,\\\ -2,\\\ -14).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -7\\[4pt] 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora usar o pivô da linha 2 (que é -3 na coluna de y) para zerar a entrada -10 em R_3.
  • O multiplicador é m=\dfrac{-10}{-3}=\dfrac{10}{3}.
  • Faça R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{10}{3}R_2. Calcule cada entrada:
    • Para a coluna y: -10 - \dfrac{10}{3}\cdot(-3) = -10 - \dfrac{10}{3}\cdot(-3) = -10 +10 =0 (como esperado).
    • Para a coluna z: -2 - \dfrac{10}{3}\cdot 1 = -2 - \dfrac{10}{3} = -\dfrac{6}{3} - \dfrac{10}{3} = -\dfrac{16}{3}.
    • Para o termo independente: -14 - \dfrac{10}{3}\cdot(-7) = -14 + \dfrac{70}{3} = -\dfrac{42}{3} + \dfrac{70}{3} = \dfrac{28}{3}.
      Portanto a nova linha 3 é \left(0,\\\ 0,\\\ -\dfrac{16}{3},\\ \dfrac{28}{3}\right).
      A matriz escalonada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -7\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{16}{3} & \dfrac{28}{3} \end{array}\right]]

Passo 6

Resolver a última equação (da linha 3) para z. A equação correspondente é
-\dfrac{16}{3}\,z = \dfrac{28}{3}.
Multiplico ambos os lados por 3 para eliminar os denominadores:
-16\,z = 28.
Dividindo por -16:
z = \dfrac{28}{-16} = -\dfrac{7}{4}.

Passo 7

Agora fazer retro-substituição para achar y usando a equação da linha 2. A linha 2 equivale a
-3\,y + 1\cdot z = -7.
Substituindo z = -\dfrac{7}{4}:
-3\,y + \left(-\dfrac{7}{4}\right) = -7.
Isolando -3y:
-3\,y = -7 + \dfrac{7}{4} = -\dfrac{28}{4} + \dfrac{7}{4} = -\dfrac{21}{4}.
Multiplicando por -1:
3\,y = \dfrac{21}{4}.
Dividindo por 3:
y = \dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}.

Passo 8

Finalmente, encontrar x usando a primeira equação:
x + y + 2z = 8.
Substituindo y=\dfrac{7}{4} e z=-\dfrac{7}{4}:
x + \dfrac{7}{4} + 2\left(-\dfrac{7}{4}\right) = 8.
Calcule \dfrac{7}{4} + 2\left(-\dfrac{7}{4}\right) = \dfrac{7}{4} - \dfrac{14}{4} = -\dfrac{7}{4}.
Assim
x - \dfrac{7}{4} = 8.
Passar -\dfrac{7}{4} para o outro lado:
x = 8 + \dfrac{7}{4} = \dfrac{32}{4} + \dfrac{7}{4} = \dfrac{39}{4}.

Passo 9

Resumo e interpretação final: a solução do sistema é
x=\dfrac{39}{4},\qquad y=\dfrac{7}{4},\qquad z=-\dfrac{7}{4}.
Verificação rápida mental: os valores são racionais simples; se desejado pode-se substituir de volta nas três equações para conferir (isso garante que não houve erro de cálculo).

Resposta

x=\dfrac{39}{4}
y=\dfrac{7}{4}
z=-\dfrac{7}{4}

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