Utilize o escalonamento para obter a solução do sistema linear:
\left\{\begin{aligned}
x+y+2 z & =8 \\
x-2 y+3 z & =1 \\
3 x-7 y+4 z & =10
\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear e pede a solução (x,y,z):
\left\{\begin{aligned} x+y+2 z & =8, \\\ x-2 y+3 z & =1, \\\\ 3 x-7 y+4 z & =10. \end{aligned}\right.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
São três equações lineares em três incógnitas x, y e z.
O objetivo é encontrar os valores numéricos de x, y e z que satisfazem simultaneamente as três equações.
Passo 2
Vou usar o escalonamento (eliminação de Gauss). Antes de começar, uma explicação rápida e prática do que farei:
Representa-se o sistema como uma matriz aumentada, juntando os coeficientes e a coluna dos termos independentes.
As operações elementares permitidas nas linhas são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por uma constante não nula;
somar a uma linha um múltiplo de outra.
Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema e servem para transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior (escalonada), a partir da qual se resolve por retro-substituição.
Passo 3
Escrever a matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes das equações dadas):
Agora usar o pivô da linha 2 (que é -3 na coluna de y) para zerar a entrada -10 em R_3.
O multiplicador é m=\dfrac{-10}{-3}=\dfrac{10}{3}.
Faça R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{10}{3}R_2. Calcule cada entrada:
Para a coluna y: -10 - \dfrac{10}{3}\cdot(-3) = -10 - \dfrac{10}{3}\cdot(-3) = -10 +10 =0 (como esperado).
Para a coluna z: -2 - \dfrac{10}{3}\cdot 1 = -2 - \dfrac{10}{3} = -\dfrac{6}{3} - \dfrac{10}{3} = -\dfrac{16}{3}.
Para o termo independente: -14 - \dfrac{10}{3}\cdot(-7) = -14 + \dfrac{70}{3} = -\dfrac{42}{3} + \dfrac{70}{3} = \dfrac{28}{3}.
Portanto a nova linha 3 é \left(0,\\\ 0,\\\ -\dfrac{16}{3},\\ \dfrac{28}{3}\right).
A matriz escalonada fica:
Verificação rápida mental: os valores são racionais simples; se desejado pode-se substituir de volta nas três equações para conferir (isso garante que não houve erro de cálculo).