é diagonalizável, usando o método do Exercício 6.
Dados fornecidos: os elementos da matriz A são os únicos dados; não há informação adicional sobre o corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) — vou indicar o que acontece sobre \mathbb{R} e sobre \mathbb{C}.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (passo-a-passo e bem didático) o que significa diagonalizável e como testar isso para matrizes 2\times 2.
Definição e critério prático:
Uma matriz n\times n é diagonalizável (sobre um corpo dado, por ex. \mathbb{R} ou \mathbb{C}) se existe uma matriz invertível P (com entradas nesse mesmo corpo) tal que
P^{-1}AP=D
onde D é diagonal.
Um critério prático: A é diagonalizável sobre o corpo se existe uma base do espaço formada por autovetores de A. Para 2\times2, isso significa que precisamos de dois autovetores linearmente independentes.
Fato útil para 2\times2: se o polinômio característico tem duas raízes distintas no corpo em questão, então há dois autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável sobre esse corpo. Se o polinômio tiver raiz dupla, aí é preciso verificar a dimensão do espaço próprio (e verificar se a multiplicidade geométrica é 2).
Agora aplicamos isso: calcularemos o polinômio característico, as raízes (autovalores) e, a partir delas, decidimos sobre diagonalizabilidade.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Encontrar as raízes do polinômio \chi_A(\lambda)=\lambda^2-\lambda+1 usando a fórmula quadrática. Para a equação \lambda^2-\lambda+1=0, o discriminante é
\Delta = (-1)^2-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas não reais. Aplicando a fórmula:
Interpretação imediata em termos de diagonalizabilidade:
Sobre \mathbb{R}: os autovalores não pertencem a \mathbb{R}, portanto não existem autovetores reais correspondentes a esses autovalores. Assim não é possível obter uma base real de autovetores — então A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Sobre \mathbb{C}: os autovalores \lambda_1 e \lambda_2 são distintos (são conjugados, portanto diferentes). Para 2\times 2, duas raízes distintas no corpo implicam dois autovetores linearmente independentes no mesmo corpo, logo A é diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Para deixar mais concreto, mostro como obter um autovetor para \lambda_1 (o raciocínio é o mesmo para \lambda_2 e eles serão linearmente independentes porque os autovalores são distintos).
Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0. Escrevendo v=(x,y)^T, a primeira equação é
O autovetor para \lambda_2 será o conjugado v_2=\overline{v_1}. Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes sobre \mathbb{C}, garantindo diagonalização sobre \mathbb{C}.]
Passo 6
Conclusão final (explicada de forma direta e amigável):
Não existe diagonalização real porque não há autovalores reais — então não há base real de autovetores.
Existe diagonalização complexa porque os dois autovalores complexos são distintos, dando dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{C}^2.
Se quiser, em \mathbb{C} a diagonalização pode ser escrita tomando