Use o método do Exercício 9 para resolver a equação diferencial.
b) y^{\prime}+\frac{2}{x} y=\frac{y^{3}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{y^{3}}{x^{2}}
Aplicaremos o método de Bernoulli (que consiste em transformar uma equação do tipo \displaystyle y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
numa equação linear por meio de uma substituição apropriada).

Passo 2

Identificamos que estamos diante de uma equação de Bernoulli com
P(x)=\frac{2}{x}, \quad Q(x)=\frac{1}{x^{2}}, \quad n=3.
A forma padrão é
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = y^{\,1-n} = y^{-2}.
Para relacionar u a y', derivamos:
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx} = -2\,y^{-3}\,y'.

Passo 4

Da equação original temos
y' = \frac{y^{3}}{x^{2}} - \frac{2}{x}\,y.
Substituindo em \tfrac{du}{dx}=-2\,y^{-3}y' resulta
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\Bigl(\frac{y^{3}}{x^{2}} - \frac{2}{x}\,y\Bigr) = -2\!\left(\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x}\,y^{-2}\right) = -\frac{2}{x^{2}} + \frac{4}{x}\,u.
Reescrevendo em forma linear em u:
\frac{du}{dx} - \frac{4}{x}\,u = -\frac{2}{x^{2}}.

Passo 5

Resolvemos a equação linear em u. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(-\!\int \frac{4}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-4\ln|x|) = x^{-4}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se
\frac{d}{dx}\bigl(u\,x^{-4}\bigr) = -\frac{2}{x^{2}}\,x^{-4} = -2\,x^{-6}.
Integramos ambos os lados:
u\,x^{-4} = \int -2\,x^{-6}\,dx = \frac{2}{5}\,x^{-5} + C,
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u(x) = C\,x^{4} + \frac{2}{5}\,x^{-1}.

Passo 6

Voltamos à variável original com u = y^{-2}, ou seja
y^{-2} = C\,x^{4} + \frac{2}{5}\,x^{-1}.
Assim a solução geral é
y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{C\,x^{4} + \tfrac{2}{5}\,x^{-1}}}\!,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C\,x^{4} + \frac{2}{5}\,x^{-1}}},\quad C\in\mathbb{R}.

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