Resolva o seguinte problema de valor inicial através do método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial
O conteúdo aqui é separação de variáveis, ou seja, vamos isolar
y de um lado e
x do outro para depois integrar.
Passo 2
Isolando os termos em
y e
x , multiplicamos ambos os lados por
2(y-1),dx , obtendo
Agora cada lado depende só de uma variável, adequado para integrar.
Passo 3
Integramos os dois lados:
No lado esquerdo,
No lado direito,
onde
C é a constante de integração. Logo a solução implícita fica
Passo 4
Usamos a condição inicial
y(0)=-1 . Substituindo
x=0 e
y=-1 em
dá
Então a relação implícita completa é
Passo 5
Para obter
y explicitamente, vemos que isso é uma equação quadrática em
y :
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
Fazendo
x=0 , as duas opções seriam
1pm2 , ou seja
3 e
-1 . Como queremos
y(0)=-1 , escolhemos o sinal “
- ”. Logo a solução particular é