Resolva o seguinte problema de valor inicial através do método de separação de variáveis.
l d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1) y(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial
dydx=3x^2+4x+22,(y-1), y(0)=-1
O conteúdo aqui é separação de variáveis, ou seja, vamos isolar y de um lado e x do outro para depois integrar.

Passo 2

Isolando os termos em y e x, multiplicamos ambos os lados por 2(y-1),dx, obtendo
2,(y-1),dy = l(3x^2+4x+2r),dx
Agora cada lado depende só de uma variável, adequado para integrar.

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 2,(y-1),dy = integral l(3x^2+4x+2r),dx
No lado esquerdo,
integral 2,(y-1),dy = 2integral (y-1),dy = 2l(tfracy^22-yr) = y^2-2y
No lado direito,
integral (3x^2+4x+2),dx = x^3+2x^2+2x + C,
onde C é a constante de integração. Logo a solução implícita fica
y^2-2y = x^3+2x^2+2x + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=-1. Substituindo x=0 e y=-1 em
y^2-2y = 0^3+2cdot0^2+2cdot0 + C
(-1)^2 -2(-1) = C Longrightarrow 1+2 = C Longrightarrow C = 3
Então a relação implícita completa é
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 +2x + 3

Passo 5

Para obter y explicitamente, vemos que isso é uma equação quadrática em y:
y^2 -2y -l(x^3+2x^2+2x+3r)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
y = 2 pm raiz4 +4,(x^3+2x^2+2x+3)2 = 1 pm raizx^3+2x^2+2x+4
Fazendo x=0, as duas opções seriam 1pm2, ou seja 3 e -1. Como queremos y(0)=-1, escolhemos o sinal “ -”. Logo a solução particular é
y(x) = 1 - raizx^3 + 2x^2 + 2x + 4

Resposta

boxedy(x) = 1 - raizx^3 + 2x^2 + 2x + 4

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