Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
.
Passo 1
O enunciado pede duas soluções em série (Frobenius) em torno de x=0 para a EDO
2 x² y’’ – x(x–1) y’ – y = 0
O ponto x=0 é singular regular, então vamos usar o método de Frobenius: assumir y = ∑_{n=0}^∞ a_n x^{n+r}, encontrar o indicial, depois a recorrência de a_n.
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 dividindo por 2 x²:
p(x)= –\frac{x–1}{2x}=\frac1{2x} – \frac12,
q(x)= –\frac1{2x²}.
q(x)= –\frac1{2x²}.
Como p(x) tem pólo simples e q(x) pólo duplo em x=0, confirmamos ponto singular regular.
Passo 3
Para achar o expoente r escrevemos a equação indicial r(r–1) + p_0 r + q_0 = 0,
onde p_0 = coeficiente de 1/x em p(x) = 1/2, e q_0 = coeficiente de 1/x² em q(x) = –1/2.
onde p_0 = coeficiente de 1/x em p(x) = 1/2, e q_0 = coeficiente de 1/x² em q(x) = –1/2.
Logo
r(r–1) + \tfrac12 r – \tfrac12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2r² – r –1 = 0,
cuja soluções são r₁=1 e r₂=–1/2.
Passo 4
Assumindo y = ∑_{n=0}^∞ a_n x^{n+r} e substituindo na EDO obtemos, para n≥1, a recorrência
Como 2(n+r)² –(n+r) –1 = (2(n+r)+1)(n+r–1), simplifica-se para
Passo 5
Para r₁=1:
e assim, com a₀ arbitrário,
ou de modo explícito
Passo 6
Para r₂=–1/2:
portanto
e
Resposta
Duas soluções independentes são
y_1(x) = x\bigl(1 + \tfrac{x}{5} + \tfrac{x^2}{5\cdot7} + \tfrac{x^3}{5\cdot7\cdot9}+\cdots\bigr),
y_2(x) = x{-1/2}e{x/2}