Determinar a primeira derivada da seguinte função
h(x)=cos (e^-x^3)-4 cos ^-5 x

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função h(x)=cosl(e^-x^3r)-4,cos^-5x. Isso envolve derivadas de composições (regra da cadeia) e uma função potência aplicada ao cosseno.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo cosl(e^-x^3r). Aplicando a regra da cadeia duas vezes: primeiro a derivada de cos(u) em relação a u e depois de u=e^-x^3 em relação a x. Temos
ddxl[cosl(e^-x^3r)r] = -sinl(e^-x^3r) cdot ddxl[e^-x^3r],
e
ddxl[e^-x^3r] = e^-x^3 cdot ddxl(-x^3r) = e^-x^3 cdot (-3x^2) = -3x^2e^-x^3
Substituindo de volta,
ddxl[cosl(e^-x^3r)r] = -sinl(e^-x^3r) cdot l(-3x^2e^-x^3r) = 3x^2e^-x^3,sinl(e^-x^3r)

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo -4,cos^-5x. A gente trata cos^-5x como [cos x]^-5 e usa regra da cadeia (potência e depois cosseno):
ddxl[cos^-5xr] = -5,[cos x]^-6 cdot ddxl[cos xr] = -5,cos^-6x cdot (-sin x) = 5,cos^-6x,sin x
Multiplicando pelo -4) que estava na frente dá
ddxl[-4,cos^-5xr] = -4 cdot l(5,cos^-6x,sin xr) = -20,cos^-6x,sin x

Passo 4

Juntando os dois resultados, a derivada h'(x) é a soma dessas partes.

Resposta

h’(x) = 3x{2}e{-x{3}},\sin\bigl(e{-x^{3}}\bigr) - 20,\cos^{-6}x,\sin x

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