Em cada item a seguir, classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Dê um contra-exemplo, caso a afirmação seja falsa.
Considere:
e
onde
ou C .
Se
então
.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente classificar se a afirmação
“Se
, então
”
é verdadeira ou falsa.
Conteúdo envolvido: matrizes invertíveis, semelhança de matrizes e propriedades de determinante.
Para resolver isso, a gente vai precisar do fato básico de teoria de matrizes que diz que
Conteúdo envolvido: matrizes invertíveis, semelhança de matrizes e propriedades de determinante.
Para resolver isso, a gente vai precisar do fato básico de teoria de matrizes que diz que
e também que, se
é invertível, então
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a propriedade multiplicativa do determinante.
Para duas matrizes quadradas e
de mesma ordem, vale que
Para duas matrizes quadradas
Isso é super importante porque a fórmula de
envolve um produto de três matrizes
,
e
.
Passo 3
Agora aplicamos essa propriedade em cima de
Tomando determinante de ambos os lados:
Pela multiplicatividade:
Agora falta ver o que é
. Como
é invertível, a gente sabe que
Logo
Substituindo de volta:
Resposta
A afirmação é VERDADEIRA, pois pelo fato de o determinante ser multiplicativo e
, obtemos
.