Em cada item a seguir, classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Dê um contra-exemplo, caso a afirmação seja falsa.
Considere: Ann(K), Bnn(K) e Pn(K) onde K=R ou C .
Se B=P^-1 AP então det(B)=det(A).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente classificar se a afirmação
“Se B = P^-1AP, então det(B) = det(A)
é verdadeira ou falsa.
Conteúdo envolvido: matrizes invertíveis, semelhança de matrizes e propriedades de determinante.
Para resolver isso, a gente vai precisar do fato básico de teoria de matrizes que diz que
det(XY) = det(X),det(Y)
e também que, se P é invertível, então det(P^-1) = 1/det(P).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a propriedade multiplicativa do determinante.
Para duas matrizes quadradas X e Y de mesma ordem, vale que
det(XY) = det(X),det(Y)
Isso é super importante porque a fórmula de B envolve um produto de três matrizes P^-1, A e P.

Passo 3

Agora aplicamos essa propriedade em cima de
B = P^-1 , A , P
Tomando determinante de ambos os lados:
det(B) = detl(P^-1 A Pr)
Pela multiplicatividade:
det(B) = det(P^-1) ,det(A),det(P)
Agora falta ver o que é det(P^-1). Como P é invertível, a gente sabe que
P,P^-1 = I Longrightarrow det(P),det(P^-1) = det(I) = 1
Logo
det(P^-1) = 1det(P)
Substituindo de volta:
det(B) = 1det(P) ,det(A),det(P) = det(A)

Resposta

A afirmação é VERDADEIRA, pois pelo fato de o determinante ser multiplicativo e det(P^-1)=1/det(P), obtemos det(B)=det(A).

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