Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
48. \left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para achar a inversa da matriz pelo método de Gauss–Jordan, ou informar que não existe. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos da primeira linha são \,1 e \,5; da segunda linha são \,1 e \,4. O objetivo é encontrar A^{-1} usando operações elementares de linha (Gauss–Jordan), ou dizer que a inversa não existe se não for possível obter a matriz identidade no lado esquerdo do sistema aumentado.]
Passo 2
Breve explicação do método (aula rápida, sem pular etapas):
Para achar a inversa de uma matriz A pelo método de Gauss–Jordan, montamos a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a matriz identidade de mesma ordem.
Aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas; multiplicar uma linha por escalar não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra) até transformar o bloco esquerdo em I.
Quando o bloco esquerdo virar I, o bloco direito será A^{-1}.
Observação rápida (útil): para uma matriz 2\times2 a inversa existe se o determinante \det(A) for diferente de zero. Aqui
\det(A)=1\cdot 4 - 5\cdot 1 = 4-5 = -1\neq 0,
logo a inversa existe. Ainda assim seguiremos com Gauss–Jordan passo a passo, como foi pedido.
Explicando: as duas primeiras colunas são A e as duas últimas colunas são a identidade I_2.]
Passo 4
Objetivo inicial: zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (primeira coluna, primeira linha), ou seja transformar o elemento (2,1) em zero.
Fazemos a operação R_2 \leftarrow R_2 - R_1. Calculando linha por linha:
Interpretando o resultado: o bloco esquerdo já é a matriz identidade I_2. Pelo método de Gauss–Jordan, o bloco direito da matriz aumentada é então a inversa A^{-1}. Ou seja