Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
48. \left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz pelo método de Gauss–Jordan, ou informar que não existe. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos da primeira linha são \,1 e \,5; da segunda linha são \,1 e \,4. O objetivo é encontrar A^{-1} usando operações elementares de linha (Gauss–Jordan), ou dizer que a inversa não existe se não for possível obter a matriz identidade no lado esquerdo do sistema aumentado.]

Passo 2

Breve explicação do método (aula rápida, sem pular etapas):
  • Para achar a inversa de uma matriz A pelo método de Gauss–Jordan, montamos a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a matriz identidade de mesma ordem.
  • Aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas; multiplicar uma linha por escalar não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra) até transformar o bloco esquerdo em I.
  • Quando o bloco esquerdo virar I, o bloco direito será A^{-1}.
  • Observação rápida (útil): para uma matriz 2\times2 a inversa existe se o determinante \det(A) for diferente de zero. Aqui
\det(A)=1\cdot 4 - 5\cdot 1 = 4-5 = -1\neq 0,
logo a inversa existe. Ainda assim seguiremos com Gauss–Jordan passo a passo, como foi pedido.

Passo 3

Formamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 5 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicando: as duas primeiras colunas são A e as duas últimas colunas são a identidade I_2.]

Passo 4

Objetivo inicial: zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (primeira coluna, primeira linha), ou seja transformar o elemento (2,1) em zero.
Fazemos a operação R_2 \leftarrow R_2 - R_1. Calculando linha por linha:
  • R_2 (antes) = (1,\;4\;|\;0,\;1).
  • Subtraindo R_1=(1,\;5\;|\;1,\;0) obtemos R_2=(1-1,\;4-5\;|\;0-1,\;1-0)=(0,\;-1\;|\;-1,\;1).
A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 5 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora queremos um pivô igual a 1 na posição (2,2). Atualmente o pivô é -1. Multiplicamos a segunda linha por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2.
Calculando:
  • R_2=(0,\;-1\;|\;-1,\;1) multiplicada por -1 R_2=(0,\;1\;|\;1,\;-1).
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 5 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora eliminamos o elemento acima do pivô (2,2), ou seja tornamos o elemento (1,2) igual a zero. Fazemos R_1 \leftarrow R_1 - 5\cdot R_2.
Cálculo detalhado:
  • 5\cdot R_2 = (0,\;5\;|\;5,\;-5).
  • R_1 (antes) = (1,\;5\;|\;1,\;0).
  • Subtraindo: R_1 = (1-0,\;5-5\;|\;1-5,\;0-(-5))=(1,\;0\;|\;-4,\;5).
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -4 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretando o resultado: o bloco esquerdo já é a matriz identidade I_2. Pelo método de Gauss–Jordan, o bloco direito da matriz aumentada é então a inversa A^{-1}. Ou seja
A^{-1}=\begin{pmatrix}-4 & 5\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): multiplicamos A por A^{-1} para checar se dá I.
Cálculo:
\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4 & 5\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-4)+5\cdot 1 & 1\cdot 5 + 5\cdot(-1)\\[4pt] 1\cdot(-4)+4\cdot 1 & 1\cdot 5 + 4\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4+5 & 5-5\\[4pt] -4+4 & 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Confere! Portanto a inversa encontrada está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix}-4 & 5\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}]

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