Resolva o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU de A dada.
  1. A=\left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 2 & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 0 & 6\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá:
A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}5 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Pede-se resolver o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}. As informações relevantes fornecidas são a fatoração A=LU com
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix},
e o vetor \mathbf{b} acima.]

Passo 2

Ideia do método (sem calcular ainda): como A=LU temos LU\mathbf{x}=\mathbf{b}. Definindo \mathbf{y}=U\mathbf{x} obtemos primeiro o sistema triangular inferior
L\mathbf{y}=\mathbf{b},
que se resolve por substituição progressiva (forward substitution). Depois resolvemos o triangular superior
U\mathbf{x}=\mathbf{y},
por substituição regressiva (back substitution). Vou aplicar esses passos um a um.

Passo 3

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b}\). Escrevendo \(\mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\end{pmatrix}\) e usando \[L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},
as equações são:
\begin{cases} 1\cdot y_1 + 0\cdot y_2 = 5,\\[4pt] -1\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = 1. \end{cases}
Pela primeira equação temos imediatamente (y_1=5]. Substituindo na segunda:
-1\cdot 5 + y_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 1 + 5 = 6.
Logo
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y}\). Escrevendo \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}\) e usando \[U=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\end{pmatrix},
as equações são:
\begin{cases} -2 x_1 + 1 x_2 = 5,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 6 x_2 = 6. \end{cases}
Pela segunda equação obtemos 6 x_2 = 6\], então \(x_2=1. Substituindo na primeira:
-2 x_1 + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad -2 x_1 = 4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -2.]

Passo 5

Portanto a solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Confirmação rápida (verificação): calcular A\mathbf{x}:
A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(-2)(-2)+1\cdot1\\[4pt]2(-2)+5\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}=\mathbf{b},
ou seja, está correto.]

Passo 6

Resumo didático (fórmulas úteis para a prova): para um n\times n triangular inferior L com 1s na diagonal, a substituição progressiva é
y_1=b_1,\qquad y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij}\,y_j\quad (i=2,\dots,n).
Para triangular superior U a substituição regressiva é
x_n=\frac{y_n}{U_{nn}},\qquad x_i=\frac{1}{U_{ii}}\Bigl(y_i-\sum_{j=i+1}^{n} U_{ij}\,x_j\Bigr)\quad (i=n-1,\dots,1).
Essas fórmulas são o que você deve aplicar na prova quando tiver LU já fatorado.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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