Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o teorema 3.8.
8. \left[\begin{array}{ll}3,55 & 0,25 \\\\ 8,52 & 0,60\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz (se existir) usando o teorema 3.8. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}3,55 & 0,25 \\[4pt] 8,52 & 0,60\end{pmatrix}.
Informações fornecidas: os quatro elementos da matriz são \;3,55,\;0,25,\;8,52,\;0,60. O que se pede: encontrar A^{-1} ou justificar que ela não existe.]

Passo 2

Vou usar o resultado padrão para matrizes 2\times2 (o que corresponde ao que o enunciado chama de teorema 3.8): se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é \det(A)=ad-bc e:
  • Se \det(A)\neq 0, a inversa existe e é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Se \det(A)=0, a matriz não é invertível (não existe inversa).
    Agora vou aplicar essa fórmula ao nosso caso. Vou explicar cada passo das contas para você conseguir reproduzir na prova.]

Passo 3

Identifico as entradas da matriz comparando com a forma geral:
a=3,55,\qquad b=0,25,\qquad c=8,52,\qquad d=0,60.

Passo 4

Calculo ad e bc separadamente, mostrando a conta com decimais como frações para ficar claro:
ad = 3,55\cdot 0,60 = \frac{355}{100}\cdot\frac{60}{100}=\frac{355\cdot60}{10000}=\frac{21300}{10000}=2,13.
bc = 0,25\cdot 8,52 = \frac{25}{100}\cdot\frac{852}{100}=\frac{25\cdot852}{10000}=\frac{21300}{10000}=2,13.

Passo 5

Agora o determinante:
\det(A)=ad-bc=2,13-2,13=0.
Vou dar uma interpretação prática: o determinante zero indica dependência linear entre colunas (ou linhas). Posso mostrar isso verificando a razão entre as componentes das colunas:
\frac{0,25}{3,55}=\frac{25}{355}=\frac{5}{71} \qquad\text{e}\qquad \frac{0,60}{8,52}=\frac{60}{852}=\frac{5}{71},
portanto a segunda coluna é exatamente \dfrac{5}{71} vezes a primeira coluna, o que confirma que as colunas são linearmente dependentes e por isso \det(A)=0.

Passo 6

Pelo teorema citado (teorema 3.8), como \det(A)=0, a matriz A não é invertível. Não existe A^{-1}. Respira: acontece muito em prova — você fez certo em checar o determinante antes de tentar aplicar a fórmula da inversa.

Resposta

A matriz não é invertível; não existe A^{-1} porque \det(A)=0.

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