Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
50. \left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\[4pt] 2 & 0\end{array}\right]
usando o método de Gauss–Jordan. As informações que temos são os quatro elementos da matriz: a_{11}=4, a_{12}=-2, a_{21}=2, a_{22}=0. O objetivo é encontrar uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1}=I,
onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Breve explicação do método (sem pular etapas): no método de Gauss–Jordan nós construímos a matriz aumentada [A\mid I] e aplicamos operações elementares sobre linhas até transformar o bloco esquerdo em I. As operações elementares permitidas são:
\begin{aligned} &\text{(a) trocar duas linhas;}\\\ &\text{(b) multiplicar uma linha por escalar não nulo;}\\\ &\text{\text{(c)} somar a uma linha um múltiplo de outra linha.} \end{aligned}ãú
Quando o bloco esquerdo vira I, o bloco direito será A^{-1}. Primeiro vamos montar a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rr|rr} 4 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Antes de mexer, é útil checar se A é invertível: para 2\times2 a determinante é \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. Aqui
\det(A)=4\cdot 0 - (-2)\cdot 2 = 0 + 4 = 4\neq 0,
logo A é invertível e a inversa existe — podemos aplicar Gauss–Jordan com segurança.]

Passo 3

Primeiro passo prático: normalizar a primeira linha para obter pivô 1 na posição (1,1). Isso significa multiplicar R_1 por \tfrac{1}{4}:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_1.
Aplicando na aumentada obtemos
\left[\begin{array}{rr|rr} 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[6pt] 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Expliquei: escolhi o pivô em (1,1) e dividi a linha inteira por 4 para obter 1 ali — isso facilita eliminar abaixo.]

Passo 4

Agora eliminamos o elemento abaixo do pivô para ter 0 na posição (2,1). Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculando termo a termo:
  • Nova entrada (2,1): 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Nova entrada (2,2): 0 - 2\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 0 + 1 = 1.
  • Nova parte direita: (0,1) - 2\cdot(\tfrac{1}{4},0) = (0 - \tfrac{1}{2},\,1 - 0) = (-\tfrac{1}{2},1).
Aumentada vira
\left[\begin{array}{rr|rr} 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right].
Agora o bloco esquerdo é triangular superior com pivôs 1 em (1,1) e (2,2).]

Passo 5

Próximo passo: tornar o bloco esquerdo igual a I. Já temos 1 em (2,2), então vamos eliminar o -\tfrac{1}{2} em (1,2) somando metade da linha 2 à linha 1:
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{2}R_2.
Calculemos cada entrada da nova R_1:
  • Nova (1,1): 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 1.
  • Nova (1,2): -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0.
  • Nova parte direita, coluna 1: \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4} = 0.
  • Nova parte direita, coluna 2: 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2}.
Aumentada final:
\left[\begin{array}{rr|rr} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right].
O bloco esquerdo é agora exatamente I. Pelo método, o bloco direito é A^{-1}.]

Passo 6

Anotando a parte direita como matriz inversa:
A^{-1}=\left[\begin{array}{rr} 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right].
Para garantir que está correto, uma verificação rápida (multiplicação) também ajuda. Calculamos A A^{-1}:
Primeira linha de A vezes colunas de A^{-1}:
4\cdot 0 + (-2)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=0+1=1,
4\cdot \tfrac{1}{2} + (-2)\cdot 1 =2 -2 =0.
Segunda linha de A vezes colunas de A^{-1}:
2\cdot 0 + 0\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=0,
2\cdot \tfrac{1}{2} + 0\cdot 1 =1.
Resultado
A A^{-1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]=I,
portanto a inversa está correta.]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{rr}0 & \tfrac{1}{2} \\[6pt] -\tfrac{1}{2} & 1\end{array}\right]]

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