Resolva o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU de A dada.
2. A=\left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\ \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 0 & 4\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 8\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU fornecida. Dados fornecidos:
O que se pede: encontrar o vetor \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, usando a decomposição A=LU.]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando temos A=LU e queremos resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b}, substituímos LU\mathbf{x}=\mathbf{b}. Definimos \mathbf{y}=U\mathbf{x}. Assim temos dois sistemas triangulares mais simples:
Por que isso ajuda? Sistemas triangulares são fáceis de resolver por substituição direta: para L\mathbf{y}=\mathbf{b} (triangular inferior com uns na diagonal principal, se for o caso) usamos “forward substitution” — resolvemos y_1 primeiro, depois y_2, etc. Para U\mathbf{x}=\mathbf{y} (triangular superior) usamos “back substitution” — resolvemos a última incógnita primeiro e voltamos para as anteriores. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward substitution).
Escrevendo o sistema componente a componente: se \mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\end{pmatrix}, então
Explicando cada termo: na primeira linha só aparece y_1 multiplicado por 1, por isso y_1 é imediatamente conhecido; na segunda linha y_2 aparece junto com \tfrac{1}{2}y_1.]
Passo 4
Resolver as equações da etapa anterior:
Da primeira equação temos
Explicando a estratégia: como U é triangular superior, começamos pela última equação (que envolve só x_2), resolvemos x_2 e depois voltamos para a primeira para obter x_1.]
Passo 6
Resolver as equações da etapa anterior:
Da segunda equação (última variável) temos