Resolva o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU de A dada.
2. A=\left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\ \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 0 & 4\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU fornecida. Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 8\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar o vetor \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, usando a decomposição A=LU.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos A=LU e queremos resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b}, substituímos LU\mathbf{x}=\mathbf{b}. Definimos \mathbf{y}=U\mathbf{x}. Assim temos dois sistemas triangulares mais simples:
L\mathbf{y}=\mathbf{b}\quad\text{(sistema triangular inferior)},
U\mathbf{x}=\mathbf{y}\quad\text{(sistema triangular superior)}.
Por que isso ajuda? Sistemas triangulares são fáceis de resolver por substituição direta: para L\mathbf{y}=\mathbf{b} (triangular inferior com uns na diagonal principal, se for o caso) usamos “forward substitution” — resolvemos y_1 primeiro, depois y_2, etc. Para U\mathbf{x}=\mathbf{y} (triangular superior) usamos “back substitution” — resolvemos a última incógnita primeiro e voltamos para as anteriores. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward substitution).
Escrevendo o sistema componente a componente: se \mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\end{pmatrix}, então
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 8\end{pmatrix}.
Isso dá as equações
1\cdot y_1 + 0\cdot y_2 = 0,
\tfrac{1}{2}\,y_1 + 1\cdot y_2 = 8.
Explicando cada termo: na primeira linha só aparece y_1 multiplicado por 1, por isso y_1 é imediatamente conhecido; na segunda linha y_2 aparece junto com \tfrac{1}{2}y_1.]

Passo 4

Resolver as equações da etapa anterior:
Da primeira equação temos
y_1 = 0.
Substituindo na segunda equação:
\tfrac{1}{2}\cdot 0 + y_2 = 8 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 8.
Portanto \mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por back substitution. Escrevendo:
\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 8\end{pmatrix}.
As equações componentes são
4x_1 - 2x_2 = 0,
0\cdot x_1 + 4x_2 = 8.
Explicando a estratégia: como U é triangular superior, começamos pela última equação (que envolve só x_2), resolvemos x_2 e depois voltamos para a primeira para obter x_1.]

Passo 6

Resolver as equações da etapa anterior:
Da segunda equação (última variável) temos
4x_2 = 8 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \dfrac{8}{4} = 2.
Substituindo x_2=2 na primeira equação:
4x_1 - 2\cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x_1 - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x_1 = 4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Assim os valores das incógnitas são x_1=1 e x_2=2.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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