Use o método das imagens para calcular as cargas superficiais totais induzidas nas placas (de comprimento muito grande) de um capacitor plano não polarizado (ou seja, potencial zé nulo nas placas), separadas pro uma distância
, por uma carga pontual
separada de um dos eletrodos pela distância
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor plano não polarizado, que basicamente são duas placas paralelas separadas por uma distância $ D $. A gente precisa usar o método das imagens para descobrir quais são as cargas induzidas nessas placas quando colocamos uma carga pontual $ q $ próxima de uma delas, a uma distância $ d $. Isso envolve conceitos de eletrostática, como campo elétrico e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método das imagens. Ele é uma técnica usada para simplificar problemas com condutores, substituindo os condutores por cargas imaginárias (as imagens) que reproduzem as condições de contorno do problema. No nosso caso, as placas do capacitor serão substituídas por cargas imagem para garantir que o potencial nas placas seja zero.
Passo 3
Como o capacitor é não polarizado e as placas estão a potencial zero, precisamos posicionar as cargas imagem de forma que o potencial nas placas seja mantido em zero. Suponha que a placa próxima à carga $ q $ está no plano $ z = 0 $ e a outra placa está no plano $ z = D $.
Passo 4
Para a carga real $ q $ localizada a uma distância $ d $ da placa $ z = 0 $, a carga imagem correspondente será $ -q $ posicionada a uma distância $ d $ dentro da placa, ou seja, em $ z = -d $. Isso garante que o potencial na placa $ z = 0 $ seja zero.
Passo 5
Agora, temos que a presença da placa $ z = D $ também afeta o sistema. A carga imagem $ -q $ próxima à placa $ z = 0 $ induz, por sua vez, uma nova carga imagem na placa $ z = D $. Essa carga imagem será $ q $ posicionada a uma distância $ D + d $ da origem, ou seja, em $ z = D + d $.
Passo 6
No entanto, essa nova carga imagem $ q $ em $ z = D + d $ também induz outra carga imagem na placa $ z = 0 $. Essa carga será $ -q $ em $ z = D - d $. Esse processo continua infinitamente, mas para simplificar, consideramos apenas as primeiras imagens significativas, já que as contribuições das imagens mais distantes tendem a ser negligenciáveis.
Passo 7
Agora, para encontrar as cargas induzidas em cada placa, devemos somar as contribuições das cargas reais e das imagens próximas. A placa $ z = 0 $ tem cargas $ q $ e $ -q $ próximas a ela, enquanto a placa $ z = D $ tem cargas $ -q $ e $ q $ próximas a ela.
Passo 8
Calculando a carga total induzida em cada placa, notamos que as cargas $ q $ e $ -q $ se cancelam para cada placa, resultando em uma carga total induzida de zero em cada uma delas. Isso faz sentido, já que o capacitor é não polarizado e não há diferença de potencial externa aplicada além da presença da carga $ q $.
Resposta
As cargas superficiais totais induzidas nas placas do capacitor são iguais a zero em ambas as placas.