Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+7)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+7)}\,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo envolve decompor a função racional em termos simples da forma \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^{2}}+\dfrac{C}{x+7}
e depois integrar cada parcela separadamente.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+7)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+7}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}(x+7), obtemos a identidade polinomial
x+3 = A\,(x+1)(x+7) \;+\; B\,(x+7) \;+\; C\,(x+1)^{2}.

Passo 3

Para encontrar A, B e C, avaliamos em valores convenientes de x:
  1. Em x=-1:
(-1)+3 = 2 = B\,( -1+7 ) = 6B \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}.
  1. Em x=-7:
(-7)+3 = -4 = C\,( -7+1 )^{2} = 36\,C \quad\Longrightarrow\quad C=-\tfrac{4}{36}=-\tfrac{1}{9}.
  1. Para A, usamos a soma dos coeficientes de x^{2}:
    o termo em x^{2} no lado direito é (A+C)x^{2} e no lado esquerdo é 0.
    Logo A+C=0, ou seja
A=-C=\frac{1}{9}.
Portanto a decomposição final é
\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+7)} =\frac{1/9}{x+1}+\frac{1/3}{(x+1)^{2}}-\frac{1/9}{x+7}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{1/9}{x+1}\,dx =\frac{1}{9}\ln\lvert x+1\rvert.
\int \frac{1/3}{(x+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{3}\int (x+1)^{-2}\,dx =\frac{1}{3}\bigl(-\,(x+1)^{-1}\bigr) =-\frac{1}{3(x+1)}.
\int -\frac{1/9}{x+7}\,dx =-\frac{1}{9}\ln\lvert x+7\rvert.
Somando as três integrais e acrescentando a constante C, temos
\int \frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+7)}\,dx =\frac{1}{9}\ln\bigl\lvert x+1\bigr\rvert -\frac{1}{9}\ln\bigl\lvert x+7\bigr\rvert -\frac{1}{3(x+1)}+C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{9}\ln\!\bigl\lvert x+1\bigr\rvert -\frac{1}{9}\ln\!\bigl\lvert x+7\bigr\rvert -\frac{1}{3(x+1)}+C.}

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