Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x+1}{x(x-2)} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\int \frac{x+1}{x(x-2)}\,dx
usando o método de frações parciais. Para isso vamos escrever a função racional como soma de frações mais simples, integrar cada uma e somar as constantes.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{x+1}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}.
Agora multiplicamos ambos os lados por x(x-2) para obter uma identidade em x.

Passo 3

Multiplicando por x(x-2) vem
x+1 = A(x-2) + B\,x = (A + B)\,x - 2A.
Comparando coeficientes do polinômio em x, temos
A + B = 1,
-2A = 1.

Passo 4

Da segunda equação segue
A = -\tfrac12,
e então da primeira
B = 1 - A = 1 - \bigl(-\tfrac12\bigr) = \tfrac32.
Logo a decomposição é
\frac{x+1}{x(x-2)} = -\tfrac12\cdot\frac1x \;+\;\tfrac32\cdot\frac1{x-2}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{x+1}{x(x-2)}\,dx = \int \Bigl(-\tfrac12\frac1x + \tfrac32\frac1{x-2}\Bigr)\,dx = -\tfrac12\ln\lvert x\rvert + \tfrac32\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

-\tfrac12\ln\lvert x\rvert + \tfrac32\ln\lvert x-2\rvert + C

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