Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{2 z^{3}+1}{z(z+1)^{2}} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2z^{3}+1}{z\,(z+1)^{2}}\,dz
usando o método de frações parciais. Este método exige dois passos principais: primeiro escrever a função como soma de um polinômio e de uma fração própria (se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador) e depois decompor essa fração própria em frações simples.

Passo 2

Observamos que o grau do numerador (grau 3) é igual ao grau do denominador (grau 3). Então fazemos a divisão polinomial
\frac{2z^{3}+0z^{2}+0z+1}{z^{3}+2z^{2}+z}
para obter um termo polinomial + resto sobre o denominador.

Passo 3

Dividindo:
2 z^{3}÷ z^{3} =2, multiplicamos o denominador por 2 e subtraímos do numerador:
2z^{3}+0z^{2}+0z+1 \;-\;(2z^{3}+4z^{2}+2z) =\,-4z^{2}-2z+1.
Logo
\frac{2z^{3}+1}{z\,(z+1)^{2}} =2 \;+\;\frac{-4z^{2}-2z+1}{z\,(z+1)^{2}}.

Passo 4

Agora decompondo a parte própria
\frac{-4z^{2}-2z+1}{z\,(z+1)^{2}} =\frac{A}{z}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{(z+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por z\,(z+1)^{2}\) obtemos \[-4z^{2}-2z+1 = A\,(z+1)^{2} + B\,z\,(z+1) + C\,z.
Expandindo e agrupando em potências de z:
(A+B)\,z^{2} \;+\;(2A+B+C)\,z \;+\;A =-4z^{2}-2z+1.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = -4,\\\\ 2A + B + C = -2,\\\ A = 1, \end{cases}
daí A=1\], \(B=-5, C=1. Então
\frac{-4z^{2}-2z+1}{z\,(z+1)^{2}} =\frac{1}{z}-\frac{5}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}.

Passo 5

Reescrevendo a integral completa:
\int \frac{2z^{3}+1}{z\,(z+1)^{2}}\,dz =\int \Bigl(2 + \frac{1}{z} - \frac{5}{z+1} + \frac{1}{(z+1)^{2}}\Bigr)\,dz.
Integramos termo a termo:
\int 2\,dz = 2z,\quad \int \frac{1}{z}\,dz = \ln\lvert z\rvert,\quad \int \frac{-5}{z+1}\,dz = -5\ln\lvert z+1\rvert,
\int \frac{1}{(z+1)^{2}}\,dz =\int (z+1)^{-2}\,dz =-(z+1)^{-1}.
Somando tudo obtemos
2z + \ln\lvert z\rvert \;-\;5\ln\lvert z+1\rvert \;-\;\frac{1}{z+1} + C.

Resposta

2z + \ln\lvert z\rvert -5\ln\lvert z+1\rvert -\frac{1}{z+1} + C.

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