Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral e^3 z cos (5 z) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral e^3zcos(5z),dz
usando o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
duas vezes, gerando uma equação em I que podemos resolver.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de partes
u = e^3z, dv = cos(5z),dz
Então
du = 3e^3z,dz, v = integral cos(5z),dz = 15sin(5z)
Substituindo em integral u,dv, obtemos
I = e^3z,15sin(5z) - integral 15sin(5z)cdot 3e^3z,dz = 15e^3zsin(5z) - 35 ,J,
onde definimos
J = integral e^3zsin(5z),dz

Passo 3

Agora aplicamos partes em
J = integral e^3zsin(5z),dz
escolhendo
u = e^3z, dv = sin(5z),dz
Calculamos
du = 3e^3z,dz, v = integral sin(5z),dz = -15cos(5z)
Logo
J = e^3zl(-15cos(5z)r) - integral l(-15cos(5z)r),3e^3z,dz = -15e^3zcos(5z) + 35I

Passo 4

Substituímos a expressão de J em
I = 15e^3zsin(5z) - 35J
e obtemos
I = 15e^3zsin(5z) - 35l(-15e^3zcos(5z) + 35Ir)
Isso dá
I = 15e^3zsin(5z) + 325e^3zcos(5z) - 925I
Passando -tfrac925I para o lado esquerdo:
I + 925I = 2525I + 925I = 3425I = 15e^3zsin(5z) + 325e^3zcos(5z)
Logo
I = 2534l(15e^3zsin(5z) + 325e^3zcos(5z)r)

Passo 5

Fazendo a simplificação final, temos
I = 534e^3zsin(5z) + 334e^3zcos(5z) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxed integral e^3zcos(5z),dz = e^3z34l(5sin(5z) + 3cos(5z)r) + C

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