Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int \ln (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \ln(5x)\,dx
usando o método de integração por partes. Nesse método, escolhemos funções u e dv de modo que possamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Definimos
u = \ln(5x), \quad dv = dx.
Então derivamos u e integramos dv:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dv = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
\int \ln(5x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln(5x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

A integral restante é simples:
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x.
Substituindo de volta, fica
\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - x + C.

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