Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando o método de integração por partes. Para facilitar, vamos primeiro usar uma substituição de variável que transforme essa integral num tipo que caiba bem em partes.

Passo 2

Reescrevemos x^{3}\cos(x^{2})\,dx como
x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}\,\bigl(x\,dx\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Fazendo a substituição
t = x^{2}, \quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2},
temos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int x^{2}\cos(t)\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\,\int t\,\cos(t)\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
\int t\,\cos(t)\,dt.
Tomamos
u = t, \quad d v = \cos(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad du = dt, \quad v = \sin(t).
Pela fórmula \int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
\int t\,\cos(t)\,dt = t\,\sin(t) - \int \sin(t)\,dt = t\,\sin(t) + \cos(t) + C_{1}.

Passo 4

Voltando ao fator \tfrac12, obtemos
\frac{1}{2}\,\int t\,\cos(t)\,dt = \frac{1}{2}\bigl(t\,\sin(t) + \cos(t)\bigr) + C
e substituindo t = x^{2}:
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{1}{2}\,\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}\,x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \tfrac{1}{2}\,\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C }.

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