Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int t \operatorname{sec} t \tan t d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int t \operatorname{sec} t \tan t \, dt
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = t \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sec} t \tan t \, dt.
Então
du = dt \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sec} t \tan t \, dt = \operatorname{sec} t.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
\int t \operatorname{sec} t \tan t \, dt = u\,v - \int v\,du = t\operatorname{sec} t - \int \operatorname{sec} t \, dt.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec} t \, dt, usamos a primitiva conhecida
\int \operatorname{sec} t \, dt = \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.

Passo 5

Substituindo na expressão do passo anterior, a integral original fica
\int t \operatorname{sec} t \tan t \, dt = t\operatorname{sec} t - \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.

Resposta

t\operatorname{sec} t - \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.

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