Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int t \operatorname{sec} t \tan t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int t\operatorname{sec} t\tan t \,dt
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = t,\quad dv = \operatorname{sec} t\tan t \,dt.
Então
du = dt,\quad v = \int \operatorname{sec} t\tan t \,dt = \operatorname{sec} t,
pois sabemos que a derivada de \operatorname{sec} t é \operatorname{sec} t\tan t.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int t\operatorname{sec} t\tan t \,dt = u\,v - \int v\,du = t\operatorname{sec} t - \int \operatorname{sec} t \,dt.

Passo 4

Falta agora integrar \operatorname{sec} t. Lembrando que
\int \operatorname{sec} t \,dt = \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C,
obtemos
\int t\operatorname{sec} t\tan t \,dt = t\operatorname{sec} t - \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.

Resposta

t\operatorname{sec} t - \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C

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