Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int(x-1) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (x - 1)\,e^{-x}\,dx
usando o método de integração por partes. O conteúdo envolvido é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e precisamos escolher funções u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = x - 1
e
dv = e^{-x}\,dx.
Então derivamos u e integramos dv:
du = d(x - 1) = dx,
v = \int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Substituindo nossos u, v e du:
\int (x-1)\,e^{-x}\,dx = (x-1)\,\bigl(-e^{-x}\bigr)\;-\;\int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Simplificando o sinal, obtemos
\int (x-1)\,e^{-x}\,dx = -\,(x-1)\,e^{-x} \;+\;\int e^{-x}\,dx.
A integral remanescente é
\int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x}.
Logo,
\int (x-1)\,e^{-x}\,dx = -\,(x-1)\,e^{-x} \;-\; e^{-x} + C.

Passo 5

Agrupando termos com e^{-x}:
-\,(x-1)\,e^{-x} \;-\; e^{-x} = \bigl[-x + 1 - 1\bigr]\,e^{-x} = -\,x\,e^{-x}.

Resposta

-\,x\,e^{-x} + C

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