Exercício 2: Calcule a integral iterada.
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\pi / 2} x \operatorname{sen} y d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\pi/2} x\,\sin y \,dy\,dx.
Isso envolve integração dupla num retângulo e aplicação do fato de que a função se separa em parte que depende só de x e parte que depende só de y.

Passo 2

Como x\,\sin y = f(x)\,g(y) com f(x)=x e g(y)=\sin y, podemos primeiro integrar em y (fixo x), obtendo uma função de x.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{\pi/2} \sin y \,dy = \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi/2} = \bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-\bigl(-\cos 0\bigr) = (0)-(-1) =1.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin y \,dy = x \cdot 1 = x.

Passo 4

A integral dupla passa a ser
\int_{-3}^{3} x\,dx.
Note que x é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, logo esta integral vale zero. Formalmente,
\int_{-3}^{3} x\,dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-3}^{3} = \tfrac{9}{2}-\tfrac{9}{2} =0.

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados