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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada
. Informações concretas fornecidas:
- A função é
. - O objetivo é encontrar
— ou seja, a derivada da função em relação a .
Passo 2
Reescrevo a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação:
Observação útil: a raiz quadrada exige que
para que
seja um número real; isso define o domínio real da função. A derivação que faremos vale formalmente onde a função está definida (onde
a expressão final também não tem problema de divisão por zero).
Passo 3
Aplico a regra da cadeia. Vou explicar a regra com calma:
- Se
, então a derivada é
Aqui
é a função externa e
a função interna. Isso significa: deriva a função externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da função interna.
Passo 4
Identifico as funções externa e interna no nosso caso:
- Função externa:
. (Aqui é uma variável genérica.) - Função interna:
.
Agora calculo
usando a regra da potência. Para
vale
. Com
:
Passo 5
Calculo
. A função interna é composta também (coseno de
), então aplico novamente a regra da cadeia em pequena escala:
- Derivada de
em relação a é . - Aqui
, e porque a derivada de é .
Portanto
Passo 6
Agora junto tudo pela regra da cadeia:
Substituindo
obtém-se
Fazendo a multiplicação e arrumando:
Reescrevendo usando raiz quadrada no denominador:
Passo 7
Um exemplo pequeno para fixar a ideia: para
tem-se
. Se
, pelo princípio da cadeia multiplica-se por
e chega-se exatamente ao resultado obtido acima. Vá com calma na prova: primeiro identifique externa/interna, derive cada uma e depois multiplique — é sempre o mesmo ritual.