Encontre f^{\prime}(x)
f(x)=\sqrt{\cos (7 x)}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada f^{\prime}(x). Informações concretas fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{\cos(7x)}.
  • O objetivo é encontrar f^{\prime}(x) — ou seja, a derivada da função em relação a x.

Passo 2

Reescrevo a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação:
f(x)=\sqrt{\cos(7x)}=\bigl(\cos(7x)\bigr)^{1/2}.
Observação útil: a raiz quadrada exige que \cos(7x)\ge 0 para que f(x) seja um número real; isso define o domínio real da função. A derivação que faremos vale formalmente onde a função está definida (onde \cos(7x)>0 a expressão final também não tem problema de divisão por zero).

Passo 3

Aplico a regra da cadeia. Vou explicar a regra com calma:
  • Se f(x)=g(h(x)), então a derivada é
f^{\prime}(x)=g^{\prime}\bigl(h(x)\bigr)\cdot h^{\prime}(x).
Aqui g é a função externa e h a função interna. Isso significa: deriva a função externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da função interna.

Passo 4

Identifico as funções externa e interna no nosso caso:
  • Função externa: g(u)=u^{1/2}. (Aqui u é uma variável genérica.)
  • Função interna: h(x)=\cos(7x).
Agora calculo g^{\prime}(u) usando a regra da potência. Para g(u)=u^{n} vale g^{\prime}(u)=n u^{n-1}. Com n=\tfrac12:
g^{\prime}(u)=\tfrac12 u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 5

Calculo h^{\prime}(x). A função interna é composta também (coseno de 7x), então aplico novamente a regra da cadeia em pequena escala:
  • Derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t).
  • Aqui t=7x, e t^{\prime}=7 porque a derivada de 7x é 7.
    Portanto
h^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\cos(7x) = -\sin(7x)\cdot 7 = -7\sin(7x).

Passo 6

Agora junto tudo pela regra da cadeia:
f^{\prime}(x)=g^{\prime}\bigl(h(x)\bigr)\cdot h^{\prime}(x) = \left(\tfrac12\bigl(h(x)\bigr)^{-1/2}\right)\cdot\bigl(-7\sin(7x)\bigr).
Substituindo h(x)=\cos(7x) obtém-se
f^{\prime}(x)=\tfrac12\bigl(\cos(7x)\bigr)^{-1/2}\cdot\bigl(-7\sin(7x)\bigr).
Fazendo a multiplicação e arrumando:
f^{\prime}(x)=-\frac{7}{2}\,\sin(7x)\,(\cos(7x))^{-1/2}.
Reescrevendo usando raiz quadrada no denominador:
f^{\prime}(x)=-\frac{7}{2}\,\frac{\sin(7x)}{\sqrt{\cos(7x)}}.

Passo 7

Um exemplo pequeno para fixar a ideia: para g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} tem-se g'(u)=\tfrac{1}{2\sqrt{u}}. Se u=\cos(7x), pelo princípio da cadeia multiplica-se por u'=-7\sin(7x) e chega-se exatamente ao resultado obtido acima. Vá com calma na prova: primeiro identifique externa/interna, derive cada uma e depois multiplique — é sempre o mesmo ritual.

Resposta

f^{\prime}(x)=-\frac{7}{2}\,\frac{\sin(7x)}{\sqrt{\cos(7x)}}

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