Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=(x-1)^2+(y+2)^2, x^2+y^2=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange pra encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y) = (x-1)^2 + (y+2)^2 $ sujeita à restrição $ x^2 + y^2 = 5 $. Esse método é ótimo pra otimizar uma função quando tem uma condição específica que relaciona as variáveis.

Passo 2

Primeiro, a gente vai montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente denotado por $ \lambda $. A fórmula fica assim:
lambda
No nosso caso, $ g(x, y) = x^2 + y^2 $ e $ c = 5 $. Então:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y) - c)

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $, e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeira derivada parcial em relação a $ x $:
x
Segunda derivada parcial em relação a $ y $:
y
Terceira derivada parcial em relação a $ \lambda $ (que é só a restrição):
lambda

Passo 4

Vamos simplificar as duas primeiras equações:
  1. Da derivada em $ x $:
x
  1. Da derivada em $ y $:
2(x - 1) - 2lambda x = 0 Rightarrow x - 1 = lambda x Rightarrow x(1 - lambda) = 1 Rightarrow x = 11 - lambda

Passo 5

Agora, substituímos $ x $ e $ y $ na equação da restrição $ x^2 + y^2 = 5 $:
x
Simplificando:
y
Então:
x^2 + y^2 = 5
Isso nos dá duas possibilidades para $ \lambda $:
  1. $ 1 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 0 $
  2. $ 1 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 2 $

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ \lambda = 0 $
lambda = 0
x = 11 - 0 = 1
Então, temos o ponto $ (1, -2) $.
Caso 2: $ \lambda = 2 $
y = -21 - 0 = -2
(1, -2)
Então, temos o ponto $ (-1, 2) $.

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores de $ f(x, y) $ nesses pontos para ver qual é o máximo e qual é o mínimo.
Para $ (1, -2) $:
f(x, y)
Para $ (-1, 2) $:
(1, -2)

Resposta

O valor mínimo de $ f(x, y) $ é 0 no ponto $ (1, -2) $ e o valor máximo é 20 no ponto $ (-1, 2) $.

Exercícios relacionados