Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange pra encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y) = (x-1)^2 + (y+2)^2 $ sujeita à restrição $ x^2 + y^2 = 5 $. Esse método é ótimo pra otimizar uma função quando tem uma condição específica que relaciona as variáveis.
Passo 2
Primeiro, a gente vai montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente denotado por $ \lambda $. A fórmula fica assim:
No nosso caso, $ g(x, y) = x^2 + y^2 $ e $ c = 5 $. Então:
Passo 3
Agora, vamos achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $, e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeira derivada parcial em relação a $ x $:
Segunda derivada parcial em relação a $ y $:
Terceira derivada parcial em relação a $ \lambda $ (que é só a restrição):
Passo 4
Vamos simplificar as duas primeiras equações:
- Da derivada em $ x $:
- Da derivada em $ y $:
Passo 5
Agora, substituímos $ x $ e $ y $ na equação da restrição $ x^2 + y^2 = 5 $:
Simplificando:
Então:
Isso nos dá duas possibilidades para $ \lambda $:
- $ 1 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 0 $
- $ 1 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 2 $
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ \lambda = 0 $
Então, temos o ponto $ (1, -2) $.
Caso 2: $ \lambda = 2 $
Então, temos o ponto $ (-1, 2) $.
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores de $ f(x, y) $ nesses pontos para ver qual é o máximo e qual é o mínimo.
Para $ (1, -2) $:
Para $ (-1, 2) $:
Resposta
O valor mínimo de $ f(x, y) $ é 0 no ponto $ (1, -2) $ e o valor máximo é 20 no ponto $ (-1, 2) $.