Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x+3 y, x^2+y^2 <= 2

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores de máximo e mínimo da função f(x,y)=x+3y sujeita à restrição x²+y²≤2. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (método de multiplicadores de Lagrange) e vamos precisar usar gradiente e resolver as condições de Kuhn–Tucker para o contorno x²+y²=2.

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y)=x²+y²−2=0 (avaliamos o contorno). Pelo método de Lagrange, impomos ∇f=λ∇g. Calculamos os gradientes:
∇f=(1,3)
∇g=(2x,2y)
Logo, as equações de Lagrange são
1=2λx,
3=2λy

Passo 3

Dividindo as duas equações para eliminar λ, obtemos
13=xy
ou seja y=3x. Substituindo na restrição x²+y²=2, temos
$$
x²+(3x)²=2\quad\Rightarrow\quad 10x²=2\quad\Rightarrow\quad x²=\frac{1}{5}.$$
Assim x=±\sqrt{1/5} e y=±3\sqrt{1/5}, mantendo o mesmo sinal de x.

Passo 4

Agora calculamos f nesses dois pontos:
Para x=\sqrt{1/5}, y=3\sqrt{\tfrac{1}{5}},
f= x+3y=raiztfrac15+3cdot3raiztfrac15=10raiztfrac15=2raiz5
Para x=−\sqrt{1/5}, y=−3\sqrt{\tfrac{1}{5}},
f=−raiztfrac15+3cdot(−3raiztfrac15)=−10raiztfrac15=−2raiz5

Passo 5

Como não há pontos críticos no interior do disco (∇f≠0 em nenhum ponto), esses resultados do contorno são os extremos globais. Portanto o valor máximo de f é 2√5 e o mínimo é −2√5.

Resposta

O valor máximo de f é 2raiz5, atingido em l(tfrac1raiz5,tfrac3raiz5r), e o valor mínimo de f é -2raiz5, atingido em l(-tfrac1raiz5,-tfrac3raiz5r).

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