Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
A questão pede para encontrar os valores de máximo e mínimo da função f(x,y)=x+3y sujeita à restrição x²+y²≤2. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (método de multiplicadores de Lagrange) e vamos precisar usar gradiente e resolver as condições de Kuhn–Tucker para o contorno x²+y²=2.
Passo 2
Definimos a função de restrição g(x,y)=x²+y²−2=0 (avaliamos o contorno). Pelo método de Lagrange, impomos ∇f=λ∇g. Calculamos os gradientes:
∇f=(1,3)
∇g=(2x,2y)
Logo, as equações de Lagrange são
Passo 3
Dividindo as duas equações para eliminar λ, obtemos
ou seja y=3x. Substituindo na restrição x²+y²=2, temos
$$
x²+(3x)²=2\quad\Rightarrow\quad 10x²=2\quad\Rightarrow\quad x²=\frac{1}{5}.$$
Assim x=±\sqrt{1/5} e y=±3\sqrt{1/5}, mantendo o mesmo sinal de x.
Passo 4
Agora calculamos f nesses dois pontos:
Para x=\sqrt{1/5}, y=3\sqrt{\tfrac{1}{5}},
Para x=−\sqrt{1/5}, y=−3\sqrt{\tfrac{1}{5}},
Passo 5
Como não há pontos críticos no interior do disco (∇f≠0 em nenhum ponto), esses resultados do contorno são os extremos globais. Portanto o valor máximo de f é 2√5 e o mínimo é −2√5.
Resposta
O valor máximo de
é
, atingido em
, e o valor mínimo de
é
, atingido em
.