Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para otimizar a função
sobre o disco
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para tratar a fronteira e também verificar possíveis extremos no interior, resolvendo
.
Passo 2
Para encontrar os extremos no interior do domínio, calculamos o gradiente de
:\n
\nIgualamos ambos a zero e resolvemos.
Das equações e
temos dois casos: se
, então
; se
, então
. Isso gera os pontos críticos
,
e
.
Das equações
Passo 3
Avaliamos
nesses pontos: \n
\nPortanto, no interior temos valor mínimo local
e valor máximo local
.
Passo 4
Para a fronteira
usamos Lagrange definindo\n
\nAs condições são
.
Das derivadas temos\n
\nO primeiro dá
ou
.
Passo 5
No caso
e
obtemos
. Avaliando\n
Passo 6
No caso
e a segunda condição, ao substituir em
chega-se a
com
e
com
. Avaliando\n
Passo 7
Comparando todos os valores de
obtidos, o maior é
e o menor é
.
Resposta
Máximo global:
em
; Mínimo global:
em
e
.