Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x^2 y+3 y^2-y, x^2+y^2 <= 10

Passo 1

O enunciado pede para otimizar a função f(x,y)=x^2y+3y^2-y sobre o disco x^2+y^2<=10. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para tratar a fronteira e também verificar possíveis extremos no interior, resolvendo nabla f=0.

Passo 2

Para encontrar os extremos no interior do domínio, calculamos o gradiente de f:\n partial fpartial x=2xy,partial fpartial y=x^2+6y-1\nIgualamos ambos a zero e resolvemos.
Das equações 2xy=0 e x^2+6y-1=0 temos dois casos: se x=0, então 6y-1=0Rightarrow y=1/6; se y=0, então x^2-1=0Rightarrow x=pm1. Isso gera os pontos críticos (0,tfrac16), (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Avaliamos f nesses pontos: \n f(0,tfrac16)=-tfrac112, f(1,0)=0, f(-1,0)=0\nPortanto, no interior temos valor mínimo local -tfrac112 e valor máximo local 0.

Passo 4

Para a fronteira x^2+y^2=10 usamos Lagrange definindo\n L(x,y,lambda)=x^2y+3y^2-y - lambda(x^2+y^2-10)\nAs condições são partial L/partial x=0, partial L/partial y=0, x^2+y^2=10.
Das derivadas temos\n partial Lpartial x=2xy-2lambda x=0,partial Lpartial y=x^2+6y-1-2lambda y=0\nO primeiro dá x=0 ou lambda=y.

Passo 5

No caso x=0 e x^2+y^2=10 obtemos y=pmraiz10. Avaliando\n f(0,raiz10)=30-raiz10,f(0,-raiz10)=30+raiz10

Passo 6

No caso lambda=y e a segunda condição, ao substituir em x^2+y^2=10 chega-se a y=3 com x=pm1 e y=-1 com x=pm3. Avaliando\n f(pm1,3)=27,f(pm3,-1)=-5

Passo 7

Comparando todos os valores de f obtidos, o maior é 30+raiz10 e o menor é -5.

Resposta

Máximo global: fmax=30+raiz10 em (0,-raiz10); Mínimo global: fmin=-5 em (3,-1) e (-3,-1).

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