Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de otimização usando Multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y) = x + 3y + 2 $, restrita à condição $ x^{2} + y^{2} = 10 $. Ou seja, queremos descobrir quais pontos na circunferência de raio
fazem $ f(x, y) $ ser o maior ou o menor possível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são Multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente da função que queremos otimizar ($ \nabla f
\nabla g $). Então, temos a relação:
Onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos identificar nossa função objetivo e a restrição:
- Função objetivo: $ f(x, y) = x + 3y + 2 $
- Restrição: $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 10 = 0 $
Agora, vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $.
Passo 4
O gradiente de $ f $ é:
E o gradiente de $ g $ é:
Segundo o método de Lagrange, temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas duas equações para $ \lambda $:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para $ \lambda $:
Passo 6
Agora que sabemos que $ y = 3x $, vamos substituir isso na restrição $ x^{2} + y^{2} = 10 $:
Então, $ x = \pm 1 $.
Passo 7
Com $ x = 1 $, temos $ y = 3(1) = 3 $.
Com $ x = -1 $, temos $ y = 3(-1) = -3 $.
Portanto, os pontos candidatos são $ (1, 3) $ e $ (-1, -3) $.
Passo 8
Vamos calcular $ f(x, y) $ nesses pontos para encontrar os valores máximos e mínimos.
Para $ (1, 3) $:
Para $ (-1, -3) $:
Resposta
Os valores de máximo e mínimo da função $ f(x, y) = x + 3y + 2 $ sujeitos à restrição $ x^{2} + y^{2} = 10 $ são:
- Máximo: 12 no ponto $ (1, 3) $
- Mínimo: -8 no ponto $ (-1, -3) $