Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Nesse exercício temos a função
sujeita à restrição linear
. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar usar derivadas parciais e a ideia de extremização com restrição.
Passo 2
Formamos a Lagrangiana:
As condições de otimalidade são
,
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas: de
vem
⇒
; de
vem
⇒
. Igualando as duas expressões de
, obtemos
, isto é
.
Passo 4
Expressamos
em função de
:
. Substituímos na restrição:
Logo
e
. O ponto crítico é
.
Passo 5
Para verificar a natureza do extremo, substituímos na restrição e obtemos
que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de
negativo). Portanto esse ponto é máximo global, com
. Como não há fronteiras na reta,
e não existe mínimo global.
Resposta
Máximo de
é
em
. Não existe mínimo global, pois
ao longo da reta de restrição.