Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=2 x y, 5 x+4 y=100

Passo 1

Nesse exercício temos a função f(x,y)=2xy sujeita à restrição linear 5x+4y=100. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar usar derivadas parciais e a ideia de extremização com restrição.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana:
L(x,y,lambda)=2xy-lambda,(5x+4y-100)
As condições de otimalidade são partialLpartial x=0, partialLpartial y=0 e partialLpartial lambda=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas: de x vem 2y-5lambda=0 lambda=tfrac2y5; de y vem 2x-4lambda=0 lambda=tfracx2. Igualando as duas expressões de lambda, obtemos tfrac2y5=tfracx2, isto é 4y=5x.

Passo 4

Expressamos x em função de y: x=tfrac45y. Substituímos na restrição:
5l(tfrac45yr)+4y=8y=100
Logo y=12,5 e x=tfrac45cdot12,5=10. O ponto crítico é (10,12,5).

Passo 5

Para verificar a natureza do extremo, substituímos na restrição e obtemos
f(x)=2xl(tfrac100-5x4r)=50x-2,5x^2,
que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 negativo). Portanto esse ponto é máximo global, com fmax=250. Como não há fronteiras na reta, fto-infty e não existe mínimo global.

Resposta

Máximo de f é 250 em (10,12,5). Não existe mínimo global, pois fto-infty ao longo da reta de restrição.

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