Resolva a equação diferencial dada e quando for o caso obtenha a solução do PVI.
y^prime prime prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y''' - y = 0
que é uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Como não há condições iniciais, vamos encontrar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à EDO:
r^3 - 1 = 0

Passo 3

Reconhecemos diferença de cubos e fatoramos:
r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) = 0
Logo as raízes são
r1 = 1, r2,3 = -1 pm iraiz32

Passo 4

Pelo teorema das raízes distintas com coeficientes reais, a parte real e imaginária das raízes complexas gera funções exponenciais-módulo-seno e cosseno. Assim a solução geral real é
y(x) = C1 e^x ;+; e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr)+C3sinl(tfracraiz32xr)r)
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr) + C3sinl(tfracraiz32xr)r)

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