Um móvel parte do repouso com aceleração constante
. Determine:
(a) Velocidade após tempo
;
(b) Distância percorrida após tempo
.
(a) Velocidade após tempo
(b) Distância percorrida após tempo
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo que segue foi retirado do enunciado):
- Dado: um móvel parte do repouso, ou seja a velocidade inicial é
. - Dado: a aceleração é constante e igual a
(número fixo). - Pedido (a): determinar a velocidade do móvel após um tempo
. - Pedido (b): determinar a distância percorrida pelo móvel após um tempo
.
Observação: o enunciado não disse a posição inicial. Vou manter a constante de integração geral
(posição em
) para a resposta mais geral, e depois dar a forma usual quando
(partindo da origem).
Passo 2
Definição fundamental usada (explicando do zero):
- A aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Isso é escrito matematicamente como
Aqui
é a velocidade em função do tempo e
é constante (não depende de
).
Agora resolvemos essa equação diferencial simples. Como
é constante, podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
O lado direito simplifica porque
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração que corresponde à velocidade inicial
. Colocando
temos
, então definimos
. Portanto, de forma geral,
Como o móvel parte do repouso, temos
. Logo a velocidade pedida é
Explicação física curta: a aceleração constante significa que a velocidade cresce linearmente com o tempo; o coeficiente dessa reta é
.
Passo 3
Agora vamos achar a posição (ou distância percorrida) em função do tempo. Definição usada:
- A velocidade é a taxa de variação da posição no tempo:
onde
é a posição.
Substituindo a expressão de
que já encontramos, escrevemos
Integramos ambos os lados em relação ao tempo:
O lado esquerdo vira
mais uma constante, e o direito é fácil de integrar:
A constante de integração
é a posição inicial
, que denotamos por
. Portanto a forma geral é
Como partimos do repouso (
), isso simplifica para
Se além disso a posição inicial for a origem (
), a expressão fica na forma mais conhecida:
Explicação do que são as constantes:
é a velocidade no instante inicial,
é a posição no instante inicial. Em provas, se não der
, normalmente assume-se
ou pede-se a forma geral com
.
Passo 4
Uma interpretação rápida e prática (truque útil para prova):
- Para aceleração constante, a velocidade varia linearmente, então a velocidade média entre
e é . - A distância percorrida é velocidade média vezes tempo:
Substituindo
obtemos
, mesma fórmula que derivamos. Esse método costuma ser mais rápido em prova quando se lembra dele.
Passo 5
Verificação dimensional (dica para prova e segurança nos cálculos):
- Unidades:
, então consistente com velocidade. - Para posição:
, portanto tem unidades de comprimento, consistente com posição/distância.
Exemplo numérico rápido para fixar (sem pular passos): se
e
e
, então
Resposta
(a)
(b)
(em particular, se
:
)