Um móvel parte do repouso com aceleração constante a. Determine:
(a) Velocidade após tempo t;
(b) Distância percorrida após tempo t.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo que segue foi retirado do enunciado):
  • Dado: um móvel parte do repouso, ou seja a velocidade inicial é \;v(0)=0\;.
  • Dado: a aceleração é constante e igual a \;a\; (número fixo).
  • Pedido (a): determinar a velocidade do móvel após um tempo \;t\;.
  • Pedido (b): determinar a distância percorrida pelo móvel após um tempo \;t\;.
Observação: o enunciado não disse a posição inicial. Vou manter a constante de integração geral \;x_0\; (posição em \;t=0\;) para a resposta mais geral, e depois dar a forma usual quando \;x_0=0\; (partindo da origem).

Passo 2

Definição fundamental usada (explicando do zero):
  • A aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Isso é escrito matematicamente como
a=\frac{dv}{dt}.
Aqui \;v(t)\; é a velocidade em função do tempo e \;a\; é constante (não depende de t).
Agora resolvemos essa equação diferencial simples. Como a é constante, podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
\int a\,dt=\int \frac{dv}{dt}\,dt.
O lado direito simplifica porque \dfrac{dv}{dt}\,dt=dv. Assim obtemos
a t + C_1 = v(t),
onde C_1 é a constante de integração que corresponde à velocidade inicial v(0). Colocando t=0 temos v(0)=C_1, então definimos v_0=C_1. Portanto, de forma geral,
v(t)=v_0+ a t.
Como o móvel parte do repouso, temos \;v_0=0\;. Logo a velocidade pedida é
v(t)=a t.
Explicação física curta: a aceleração constante significa que a velocidade cresce linearmente com o tempo; o coeficiente dessa reta é a.

Passo 3

Agora vamos achar a posição (ou distância percorrida) em função do tempo. Definição usada:
  • A velocidade é a taxa de variação da posição no tempo:
v=\frac{dx}{dt},
onde \;x(t)\; é a posição.
Substituindo a expressão de v(t) que já encontramos, escrevemos
\frac{dx}{dt}=v_0 + a t.
Integramos ambos os lados em relação ao tempo:
\int \frac{dx}{dt}\,dt=\int (v_0 + a t)\,dt.
O lado esquerdo vira x(t) mais uma constante, e o direito é fácil de integrar:
x(t)=v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 + C_2.
A constante de integração C_2 é a posição inicial x(0), que denotamos por x_0. Portanto a forma geral é
x(t)=x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2.
Como partimos do repouso ( v_0=0), isso simplifica para
x(t)=x_0 + \frac{1}{2} a t^2.
Se além disso a posição inicial for a origem ( x_0=0), a expressão fica na forma mais conhecida:
x(t)=\frac{1}{2} a t^2.
Explicação do que são as constantes: v_0 é a velocidade no instante inicial, x_0 é a posição no instante inicial. Em provas, se não der x_0, normalmente assume-se x_0=0 ou pede-se a forma geral com x_0.

Passo 4

Uma interpretação rápida e prática (truque útil para prova):
  • Para aceleração constante, a velocidade varia linearmente, então a velocidade média entre t=0 e t é \dfrac{v_0+v(t)}{2}.
  • A distância percorrida é velocidade média vezes tempo:
\Delta x = \left(\frac{v_0+v(t)}{2}\right) t.
Substituindo v(t)=v_0+at obtemos \Delta x=v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2, mesma fórmula que derivamos. Esse método costuma ser mais rápido em prova quando se lembra dele.

Passo 5

Verificação dimensional (dica para prova e segurança nos cálculos):
  • Unidades: [a]=\text{m/s}^2, [t]=\text{s} então [a t]=\text{m/s} consistente com velocidade.
  • Para posição: [a t^2]=\text{m}, portanto \tfrac{1}{2} a t^2 tem unidades de comprimento, consistente com posição/distância.
Exemplo numérico rápido para fixar (sem pular passos): se \;a=2\\ \text{m/s}^2 e \;t=3\\ \text{s} e v_0=x_0=0, então
v(3)=2\cdot 3=6\\ \text{m/s}, \qquad x(3)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3^2=9\\ \text{m}.

Resposta

(a) v(t)=a\,t
(b) x(t)=x_0+\dfrac{1}{2}\,a\,t^{2} (em particular, se x_0=0: x(t)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^{2})

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