\left.4^{\circ}\right) Dada a função f(x, y)=\sqrt{4-(x-2)^{2}-y^{2}}.
a) Qual seu domínio?
b) Qual sua imagem?
c) Descreva como seriam as curvas de nível de f.
d) Construa seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{4 - (x-2)^2 - y^2}\,,
e pede: a) domínio, b) imagem, c) curvas de nível e d) gráfico. Para resolver vamos usar que a raiz quadrada exige o radicando não-negativo, depois estudar o valor mínimo e máximo de f, isolar o nível f(x,y)=c para obter as curvas e reconhecer a superfície resultante como um hemisfério.

Passo 2

Para garantir que
4 - (x-2)^2 - y^2 \ge 0
precisamos ter
(x-2)^2 + y^2 \le 4.
Portanto o domínio é o disco fechado de centro (2,0) e raio 2:
D = \{(x,y)\mid (x-2)^2 + y^2 \le 4\}.

Passo 3

Como \sqrt{\cdot}\ge0, o valor mínimo de f ocorre na fronteira onde o radicando é zero, dando f=0. O valor máximo ocorre quando (x-2)^2+y^2 é mínimo, isto é, em (x,y)=(2,0), onde o radicando vale 4 e f(2,0)=2. Logo a imagem é
\mathrm{Im}(f) = [0,2].

Passo 4

Para cada nível c\in[0,2] resolvemos
\sqrt{4-(x-2)^2-y^2}=c \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^2 + y^2 = 4 - c^2.
Isso descreve círculos de centro (2,0) e raio \sqrt{4 - c^2}. À medida que c cresce de 0 a 2, o raio cai de 2 a 0.

Passo 5

O gráfico de z=f(x,y) é dado por
z = \sqrt{4 - (x-2)^2 - y^2},
que é exatamente a metade superior da esfera de raio 2 centrada em (2,0,0), pois satisfaz
(x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4, \quad z\ge0.

Resposta

a) \displaystyle D=\{(x,y)\mid (x-2)^2 + y^2 \le 4\}.
b) \displaystyle \mathrm{Im}(f) = [0,2].
c) As curvas de nível f(x,y)=c são círculos de centro (2,0) e raio \sqrt{4-c^2}, com 0\le c\le2.
d) O gráfico é o hemisfério superior da esfera (x-2)^2+y^2+z^2=4, com z\ge0.

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