Dada a função
.
a) Qual seu domínio?
b) Qual sua imagem?
c) Descreva como seriam as curvas de nível de
.
d) Construa seu gráfico.
a) Qual seu domínio?
b) Qual sua imagem?
c) Descreva como seriam as curvas de nível de
d) Construa seu gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede: a) domínio, b) imagem, c) curvas de nível e d) gráfico. Para resolver vamos usar que a raiz quadrada exige o radicando não-negativo, depois estudar o valor mínimo e máximo de
, isolar o nível
para obter as curvas e reconhecer a superfície resultante como um hemisfério.
Passo 2
Para garantir que
precisamos ter
Portanto o domínio é o disco fechado de centro
e raio
:
Passo 3
Como
, o valor mínimo de
ocorre na fronteira onde o radicando é zero, dando
. O valor máximo ocorre quando
é mínimo, isto é, em
, onde o radicando vale
e
. Logo a imagem é
Passo 4
Para cada nível
resolvemos
Isso descreve círculos de centro
e raio
. À medida que
cresce de
a
, o raio cai de
a
.
Passo 5
O gráfico de
é dado por
que é exatamente a metade superior da esfera de raio
centrada em
, pois satisfaz
Resposta
a)
b)
c) As curvas de nível são círculos de centro
e raio
, com
.
d) O gráfico é o hemisfério superior da esfera , com
.
b)
c) As curvas de nível
d) O gráfico é o hemisfério superior da esfera