Use o método de Newton-Raphson para calcular as raízes das equações a seguir, com precisão $epsilon=0.0001:
Encontre a raiz positiva da função
, ou seja, calcule a raiz quadrada de 2 .
Sugestão: Utilize
como aproximação inicial.
Encontre a raiz positiva da função
Passo 1
O enunciado pede encontrar a raiz positiva da função
(ou seja, calcular
) com precisão
.
Dados fornecidos: aproximação inicial e tolerância
.
Objetivo numérico: aplicar o método de Newton-Raphson até que a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfaça .
Dados fornecidos: aproximação inicial
Objetivo numérico: aplicar o método de Newton-Raphson até que a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfaça
Passo 2
Apresentando o método e a fórmula que vamos usar. O método de Newton-Raphson para achar raízes de uma função
usa a iteração
Aqui
. Calculamos a derivada:
Substituindo em Newton:
Podemos simplificar a expressão (é a chamada fórmula de Babilônia para raiz quadrada):
Explicando as variáveis:
é a aproximação atual,
é a próxima aproximação. Vamos repetir essa fórmula até que
. Usamos esse critério porque garante que as aproximações estão mudando menos que a precisão desejada.
Passo 3
Primeira iteração a partir de
.
Usando a fórmula
Usando a fórmula
Diferença:
portanto não paramos e continuamos.
Passo 4
Segunda iteração a partir de
.
Calculamos exatamente em frações para facilitar:
Calculamos exatamente em frações para facilitar:
Diferença:
ainda não atingimos a precisão desejada.
Passo 5
Terceira iteração a partir de
.
Primeiro calculamos . Então
Primeiro calculamos
Diferença:
ainda maior que
, continuamos.
Passo 6
Quarta iteração a partir de
.
Calculamos . Então
Calculamos
Diferença:
Agora
. Portanto atingimos a tolerância pedida e podemos parar.
Passo 7
Resumo do processo e dica prática para a prova: a cada iteração calcule
. Verifique a diferença
. Quando essa diferença for menor que
você pode aceitar
como aproximação com a precisão desejada. No nosso caso convergimos rapidamente (método tem convergência quadrática), e a aproximação final obtida foi
.