Use o método de Newton-Raphson para calcular as raízes das equações a seguir, com precisão $epsilon=0.0001:
Encontre a raiz positiva da função f(x)=x^{2}-2, ou seja, calcule a raiz quadrada de 2 .
Sugestão: Utilize x_{0}=1 como aproximação inicial.

Passo 1

O enunciado pede encontrar a raiz positiva da função f(x)=x^{2}-2 (ou seja, calcular \sqrt{2}) com precisão \epsilon=0,0001.
Dados fornecidos: aproximação inicial x_{0}=1 e tolerância \epsilon=0,0001.
Objetivo numérico: aplicar o método de Newton-Raphson até que a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfaça |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon.

Passo 2

Apresentando o método e a fórmula que vamos usar. O método de Newton-Raphson para achar raízes de uma função f usa a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f(x)=x^{2}-2. Calculamos a derivada:
f'(x)=2x.
Substituindo em Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}}.
Podemos simplificar a expressão (é a chamada fórmula de Babilônia para raiz quadrada):
x_{n+1}=\frac{x_{n}+\dfrac{2}{x_{n}}}{2}.
Explicando as variáveis: x_{n} é a aproximação atual, x_{n+1} é a próxima aproximação. Vamos repetir essa fórmula até que |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon. Usamos esse critério porque garante que as aproximações estão mudando menos que a precisão desejada.

Passo 3

Primeira iteração a partir de x_{0}=1.
Usando a fórmula
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{2}{x_{0}}}{2}=\frac{1+\dfrac{2}{1}}{2}=\frac{3}{2}=1,5.
Diferença:
|x_{1}-x_{0}|=|1,5-1|=0,5>0,0001,
portanto não paramos e continuamos.

Passo 4

Segunda iteração a partir de x_{1}=1,5.
Calculamos exatamente em frações para facilitar:
x_{2}=\frac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3/2}}{2}=\frac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}}{2}=\frac{\dfrac{17}{12}}{1}=\frac{17}{12}\approx 1,4166666667.
Diferença:
|x_{2}-x_{1}|=|1,4166666667-1,5|=0,0833333333>0,0001,
ainda não atingimos a precisão desejada.

Passo 5

Terceira iteração a partir de x_{2}=\dfrac{17}{12}.
Primeiro calculamos \dfrac{2}{x_{2}}=\dfrac{2}{17/12}=\dfrac{24}{17}. Então
x_{3}=\frac{\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}}{2}=\frac{577}{408}\approx 1,4142156863.
Diferença:
|x_{3}-x_{2}|=|1,4142156863-1,4166666667|\approx 0,0024509804>0,0001,
ainda maior que \epsilon, continuamos.

Passo 6

Quarta iteração a partir de x_{3}=\dfrac{577}{408}\approx 1,4142156863.
Calculamos \dfrac{2}{x_{3}}=\dfrac{2}{577/408}=\dfrac{816}{577}\approx 1,4142114385. Então
x_{4}=\frac{x_{3}+\dfrac{2}{x_{3}}}{2}=\frac{1,4142156863+1,4142114385}{2}\approx 1,4142135624.
Diferença:
|x_{4}-x_{3}|\approx |1,4142135624-1,4142156863|\approx 0,0000021239.
Agora |x_{4}-x_{3}|\approx 2{,}12\times 10^{-6}<0{,}0001=\epsilon. Portanto atingimos a tolerância pedida e podemos parar.

Passo 7

Resumo do processo e dica prática para a prova: a cada iteração calcule x_{n+1}=\dfrac{x_{n}+2/x_{n}}{2}. Verifique a diferença |x_{n+1}-x_{n}|. Quando essa diferença for menor que \epsilon você pode aceitar x_{n+1} como aproximação com a precisão desejada. No nosso caso convergimos rapidamente (método tem convergência quadrática), e a aproximação final obtida foi x_{4}.

Resposta

x\approx 1,4142135623746899

Exercícios relacionados