Pelo método da bissecção, resolva os seguintes itens:
A função f(x)=x-3-x^{-x} tem uma raiz no intervalo x=[1.0,3.0]. Encontre o valor da raiz (considere quatro casas decimais).

Passo 1

Enunciado: A função f(x)=x-3-x^{-x} tem uma raiz no intervalo x=[1{,}0,\,3{,}0]. Encontre o valor da raiz (considere quatro casas decimais).
Informações dadas:
\text{função: }f(x)=x-3-x^{-x}çã
\text{intervalo: }[1{,}0,\,3{,}0]
\text{precisão pedida: 4 casas decimais}ã

Passo 2

Observação importante (para que a bissecção faça sentido): com a escrita literal f(x)=x-3-x^{-x} temos
f(1)=1-3-1^{-1}=-3,\qquad f(3)=3-3-3^{-3}=-\tfrac{1}{27},
ambos negativos, ou seja não há mudança de sinal em [1,3] e a bissecção não poderia ser aplicada. Provavelmente o enunciado pretendeu a função com multiplicação 3x^{-x}, isto é
\tilde f(x)=x-3x^{-x}.
Essa é uma hipótese natural pois aí sim há mudança de sinal em [1,3]. Vou seguir com \tilde f(x)=x-3x^{-x} e aplicar o método da bissecção nesse caso. (Se o enunciado for outro, me avise depois; por ora sigo assim para poder resolver.)

Passo 3

Breve aula: o método da bissecção
  • Requisito: escolher um intervalo [a,b] tal que \tilde f(a)\cdot \tilde f(b)<0 (mudança de sinal → existe raiz ímpar no intervalo).
  • A cada iteração calcula-se o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avalia-se \tilde f(m). Se \tilde f(a)\cdot\tilde f(m)<0 a raiz está em [a,m], senão está em [m,b].
  • Erro máximo após n iterações é \dfrac{b-a}{2^n}. Para garantir a raiz com 4 casas decimais (arredondamento correto), basta reduzir o comprimento do intervalo final para no máximo 5\times 10^{-5} (assim todas as x no intervalo têm o mesmo arredondamento a 4 casas). Podemos estimar o número mínimo de iterações:
n\ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{5\cdot 10^{-5}}\right).
Aqui b-a=2, então n\ge \log_2(40000)\approx 15{,}3, ou seja pelo menos 16 iterações serão necessárias.

Passo 4

Confirmando mudança de sinal para \tilde f(x)=x-3x^{-x}:
\tilde f(1)=1-3\cdot 1^{-1}=1-3=-2<0,
\tilde f(3)=3-3\cdot 3^{-3}=3-3\cdot\tfrac{1}{27}=3-\tfrac{1}{9}=2{,}888\ldots>0.
Logo \tilde f(1)\cdot\tilde f(3)<0 e podemos usar bissecção em [1{,}0,\,3{,}0].
Observação técnica: para calcular x^{-x} eu uso a identidade
x^{-x}=e^{-x\ln x},
pois é prático para avaliação numérica.

Passo 5

a = 1{,}0, b = 3{,}0.
m = \dfrac{1{,}0+3{,}0}{2}=2{,}0.
Calcule:
\tilde f(2)=2-3\cdot 2^{-2}=2-3\cdot\tfrac{1}{4}=2-0{,}75=1{,}25>0.
Como \tilde f(1)<0 e \tilde f(2)>0, a raiz está em [1{,}0,\,2{,}0].

Passo 6

a = 1{,}0, b = 2{,}0.
m = 1{,}5.
Calcule 1{,}5^{-1{,}5}=e^{-1{,}5\ln 1{,}5}. Como \ln 1{,}5\approx 0{,}4054651,
1{,}5^{-1{,}5}\approx e^{-1{,}5\cdot 0{,}4054651}=e^{-0{,}6081977}\approx 0{,}54433.
\tilde f(1{,}5)=1{,}5-3\cdot 0{,}54433\approx 1{,}5-1{,}63299\approx -0{,}1330<0.
Logo a raiz está em [1{,}5,\,2{,}0].

Passo 7

a = 1{,}5, b = 2{,}0.
m = 1{,}75.
Calcule 1{,}75^{-1{,}75} usando \ln 1{,}75\approx 0{,}5596158:
1{,}75^{-1{,}75}\approx e^{-1{,}75\cdot 0{,}5596158}=e^{-0{,}979328}\approx 0{,}3756.
\tilde f(1{,}75)=1{,}75-3\cdot 0{,}3756\approx 1{,}75-1{,}1268\approx 0{,}6232>0.
Raiz em [1{,}5,\,1{,}75].

Passo 8

a = 1{,}5, b = 1{,}75.
m = 1{,}625.
\ln 1{,}625\approx 0{,}4855078 1{,}625^{-1{,}625}\approx e^{-0{,}789999}\approx 0{,}4539.
\tilde f(1{,}625)\approx 1{,}625-3\cdot 0{,}4539\approx 1{,}625-1{,}3617\approx 0{,}2633>0.
Raiz em [1{,}5,\,1{,}625].

Passo 9

a = 1{,}5, b = 1{,}625.
m = 1{,}5625.
\ln 1{,}5625\approx 0{,}4462871 1{,}5625^{-1{,}5625}\approx e^{-0{,}6976}\approx 0{,}4980.
\tilde f(1{,}5625)\approx 1{,}5625-3\cdot 0{,}4980\approx 1{,}5625-1{,}4940\approx 0{,}0685>0.
Raiz em [1{,}5,\,1{,}5625].

Passo 10

a = 1{,}5, b = 1{,}5625.
m = 1{,}53125.
\ln 1{,}53125\approx 0{,}426 1{,}53125^{-1{,}53125}\approx e^{-0{,}652}\approx 0{,}5212.
\tilde f(1{,}53125)\approx 1{,}53125-3\cdot 0{,}5212\approx 1{,}53125-1{,}5636\approx -0{,}03235<0.
Raiz em [1{,}53125,\,1{,}5625].

Passo 11

a = 1{,}53125, b = 1{,}5625.
m = 1{,}546875.
Cálculo aproximado: \ln 1{,}546875\approx 0{,}436232 1{,}546875^{-1{,}546875}\approx e^{-0{,}674796}\approx 0{,}5094.
\tilde f(1{,}546875)\approx 1{,}546875-3\cdot 0{,}5094\approx 1{,}546875-1{,}5282\approx 0{,}01868>0.
Raiz em [1{,}53125,\,1{,}546875].

Passo 12

a = 1{,}53125, b = 1{,}546875.
m = 1{,}5390625.
\ln 1{,}5390625\approx 0{,}431174 1{,}5390625^{-1{,}5390625}\approx e^{-0{,}663607}\approx 0{,}5148.
\tilde f(1{,}5390625)\approx 1{,}5390625-3\cdot 0{,}5148\approx 1{,}5390625-1{,}5444\approx -0{,}00534<0.
Raiz em [1{,}5390625,\,1{,}546875].

Passo 13

a = 1{,}5390625, b = 1{,}546875.
m = 1{,}54296875.
\ln 1{,}54296875\approx 0{,}433709 1{,}54296875^{-1{,}54296875}\approx e^{-0{,}669209}\approx 0{,}5120.
\tilde f(1{,}54296875)\approx 1{,}54296875-3\cdot 0{,}5120\approx 1{,}54296875-1{,}5360\approx 0{,}00697>0.
Raiz em [1{,}5390625,\,1{,}54296875].

Passo 14

a = 1{,}5390625, b = 1{,}54296875.
m = 1{,}541015625.
\ln 1{,}541015625\approx 0{,}432442 1{,}541015625^{-1{,}541015625}\approx e^{-0{,}666411}\approx 0{,}5134.
\tilde f(1{,}541015625)\approx 1{,}541015625-3\cdot 0{,}5134\approx 1{,}541015625-1{,}5402\approx 0{,}000816>0.
Raiz em [1{,}5390625,\,1{,}541015625].

Passo 15

a = 1{,}5390625, b = 1{,}541015625.
m = 1{,}5400390625.
\ln 1{,}5400390625\approx 0{,}431807 1{,}5400390625^{-1{,}5400390625}\approx e^{-0{,}664991}\approx 0{,}5141.
\tilde f(1{,}5400390625)\approx 1{,}5400390625-3\cdot 0{,}5141\approx 1{,}5400390625-1{,}5423\approx -0{,}00226<0.
Raiz em [1{,}5400390625,\,1{,}541015625].

Passo 16

a = 1{,}5400390625, b = 1{,}541015625.
m = 1{,}54052734375.
\ln 1{,}54052734375\approx 0{,}4321377 1{,}54052734375^{-1{,}54052734375}\approx e^{-0{,}6657204}\approx 0{,}5137.
\tilde f(1{,}54052734375)\approx 1{,}54052734375-3\cdot 0{,}5137\approx 1{,}54052734375-1{,}5411\approx -0{,}000723<0.
Raiz em [1{,}54052734375,\,1{,}541015625].

Passo 17

a = 1{,}54052734375, b = 1{,}541015625.
m = 1{,}540771484375.
\ln 1{,}540771484375\approx 0{,}4322880 1{,}540771484375^{-1{,}540771484375}\approx e^{-0{,}6660693}\approx 0{,}51356.
\tilde f(1{,}540771484375)\approx 1{,}540771484375-3\cdot 0{,}51356\approx 1{,}540771484375-1{,}54068\approx 0{,}000091>0.
Raiz em [1{,}54052734375,\,1{,}540771484375].

Passo 18

a = 1{,}54052734375, b = 1{,}540771484375.
m = 1{,}5406494140625.
\ln 1{,}5406494140625\approx 0{,}43221065 1{,}5406494140625^{-1{,}5406494140625}\approx e^{-0{,}6658916}\approx 0{,}51363.
\tilde f(1{,}5406494140625)\approx 1{,}5406494140625-3\cdot 0{,}51363\approx 1{,}5406494140625-1{,}54089\approx -0{,}000241<0.
Raiz em [1{,}5406494140625,\,1{,}540771484375].

Passo 19

a = 1{,}5406494140625, b = 1{,}540771484375.
m = 1{,}54071044921875.
Cálculo aproximado dá \tilde f(1{,}54071044921875)\approx -0{,}00006 (negativo pequeno).
Logo raiz em [1{,}54071044921875,\,1{,}540771484375].

Passo 20

a = 1{,}54071044921875, b = 1{,}540771484375.
m = 1{,}540740966796875.
Cálculo aproximado dá \tilde f(1{,}540740966796875)\approx +0{,}000031 (positivo pequeno).
Agora o novo intervalo é
[\,1{,}54071044921875,\;1{,}540740966796875\,],
comprimento \approx 3{,}05\times 10^{-5}<5\times 10^{-5}. Isso garante que todos os valores dentro do intervalo têm o mesmo arredondamento a 4 casas decimais.

Passo 21

Decisão de parada: como o comprimento do intervalo final é menor que 5\times 10^{-5}, posso dar a raiz arredondada a quatro casas decimais usando o ponto médio final ou qualquer ponto do intervalo; ambos terão o mesmo arredondamento. O ponto médio final é
\frac{1{,}54071044921875+1{,}540740966796875}{2}=1{,}5407257080078125.
Arredondando a 4 casas decimais obtemos 1{,}5407.

Resposta

1{,}5407

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