Pelo método da bissecção, resolva os seguintes itens:
A função
tem uma raiz no intervalo
. Encontre o valor da raiz (considere quatro casas decimais).
A função
Passo 1
Enunciado: A função
tem uma raiz no intervalo
. Encontre o valor da raiz (considere quatro casas decimais).
Informações dadas:
Passo 2
Observação importante (para que a bissecção faça sentido): com a escrita literal
temos
ambos negativos, ou seja não há mudança de sinal em
e a bissecção não poderia ser aplicada. Provavelmente o enunciado pretendeu a função com multiplicação
, isto é
Essa é uma hipótese natural pois aí sim há mudança de sinal em
. Vou seguir com
e aplicar o método da bissecção nesse caso. (Se o enunciado for outro, me avise depois; por ora sigo assim para poder resolver.)
Passo 3
Breve aula: o método da bissecção
- Requisito: escolher um intervalo
tal que (mudança de sinal → existe raiz ímpar no intervalo). - A cada iteração calcula-se o ponto médio
avalia-se
. Se
a raiz está em
, senão está em
.
- Erro máximo após
iterações é . Para garantir a raiz com 4 casas decimais (arredondamento correto), basta reduzir o comprimento do intervalo final para no máximo (assim todas as x no intervalo têm o mesmo arredondamento a 4 casas). Podemos estimar o número mínimo de iterações:
Aqui
, então
, ou seja pelo menos
iterações serão necessárias.
Passo 4
Confirmando mudança de sinal para
:
Logo
e podemos usar bissecção em
.
Observação técnica: para calcular
eu uso a identidade
pois é prático para avaliação numérica.
Passo 5
a =
, b =
.
m = .
Calcule:
m =
Calcule:
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 6
a =
, b =
.
m = .
Calcule . Como
,
m =
Calcule
Logo a raiz está em
.
Passo 7
a =
, b =
.
m = .
Calcule usando
:
m =
Calcule
Raiz em
.
Passo 8
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 9
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 10
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 11
a =
, b =
.
m = .
Cálculo aproximado: →
.
m =
Cálculo aproximado:
Raiz em
.
Passo 12
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 13
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 14
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 15
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 16
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 17
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 18
a =
, b =
.
m = .
→
.
m =
Raiz em
.
Passo 19
a =
, b =
.
m = .
Cálculo aproximado dá (negativo pequeno).
Logo raiz em .
m =
Cálculo aproximado dá
Logo raiz em
Passo 20
a =
, b =
.
m = .
Cálculo aproximado dá (positivo pequeno).
Agora o novo intervalo é
m =
Cálculo aproximado dá
Agora o novo intervalo é
comprimento
. Isso garante que todos os valores dentro do intervalo têm o mesmo arredondamento a 4 casas decimais.
Passo 21
Decisão de parada: como o comprimento do intervalo final é menor que
, posso dar a raiz arredondada a quatro casas decimais usando o ponto médio final ou qualquer ponto do intervalo; ambos terão o mesmo arredondamento. O ponto médio final é
Arredondando a 4 casas decimais obtemos
.