Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para t>0.
$t^{2} y^{\prime \prime}+4 t y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
t^2y'' + 4t,y' + 2y = 0, t>0,
que é uma equação de Cauchy–Euler (ou regularmente singular em t=0). Para resolver, usamos o método de Frobenius assumindo uma solução do tipo
y(t)=t^r

Passo 2

Seja y(t)=t^r. Então
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo em
t^2y'' + 4t,y' + 2y = 0
vem
t^2cdot r(r-1),t^r-2 ;+; 4tcdot r,t^r-1 ;+; 2,t^r = 0
ou seja
l[r(r-1)+4r+2r],t^r = 0

Passo 3

Como t^rneq0 para t>0, o coeficiente entre colchetes deve ser zero. A equação indicial é
r(r-1)+4r+2 = 0 Longrightarrow r^2+3r+2 = 0
Resolvendo
r = -3pmraiz9-82 = -3pm12,
obtém-se as raízes
,r1=-1 e ,r2=-2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação para t>0 é
y(t) = C1,t^r1 + C2,t^r2 = C1,t^-1 + C2,t^-2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1,t^-1+C2,t^-2, t>0

Exercícios relacionados