Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para
.
$t^{2} y^{\prime \prime}+4 t y^{\prime}+2 y=0
$t^{2} y^{\prime \prime}+4 t y^{\prime}+2 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
que é uma equação de Cauchy–Euler (ou regularmente singular em
). Para resolver, usamos o método de Frobenius assumindo uma solução do tipo
Passo 2
Seja
. Então
Substituindo em
vem
ou seja
Passo 3
Como
para
, o coeficiente entre colchetes deve ser zero. A equação indicial é
Resolvendo
obtém-se as raízes
e
.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação para
é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral é