Use o método do Problema 33 para resolver a equação diferencial dada.
2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=t^{2}+3 \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear inhomogênea de segunda ordem
2\,y''+3\,y'+y = t^{2}+3\sin t
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em achar uma solução geral como
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t),
onde y_{h} é a solução da equação homogênea associada e y_{p} é uma particular ajustada ao termo forçante.

Passo 2

Para obter y_{h}, escrevemos a equação característica de
2\,y''+3\,y'+y=0:
2r^{2}+3r+1=0.
Calculamos as raízes:
r = \frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{4} = \frac{-3\pm1}{4},
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r_{1} = -1,\quad r_{2} = -\tfrac12.
Portanto
y_{h}(t) = C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{-t/2}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo polinomial t^{2}. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
y_{p1}(t) = A\,t^{2} + B\,t + C.
Então
y_{p1}' = 2A\,t + B, \quad y_{p1}'' = 2A.
Substituindo em 2y''+3y'+y obtemos
2(2A) + 3(2A\,t+B) + (A\,t^{2}+B\,t+C) = A\,t^{2} + (6A+B)\,t + (4A+3B+C).
Queremos isto igual a t^{2}, isto é,
A = 1,\quad 6A+B = 0,\quad 4A+3B+C = 0.
Logo
A=1,\; B=-6,\; C=14.
Assim
y_{p1}(t) = t^{2} - 6t + 14.

Passo 4

Para o termo 3\sin t usamos outra parte particular y_{p2}(t) na forma
y_{p2}(t) = D\cos t + E\sin t.
Calculamos
y_{p2}' = -D\sin t + E\cos t, \quad y_{p2}'' = -D\cos t - E\sin t.
No lado esquerdo:
2y_{p2}''+3y_{p2}'+y_{p2} = 2(-D\cos t - E\sin t) +3(-D\sin t + E\cos t) +(D\cos t+E\sin t)
= (-2D+3E+D)\cos t +(-2E-3D+E)\sin t =(-D+3E)\cos t +(-E-3D)\sin t.
Isto deve igualar a 3\sin t, ou seja,
-D+3E = 0, \quad -E-3D = 3.
Da primeira equação D=3E. Substituindo na segunda:
-E-9E = 3 \;\Longrightarrow\;-10E=3\;\Longrightarrow\;E=-\tfrac{3}{10}, \quad D = 3E = -\tfrac{9}{10}.
Assim
y_{p2}(t) = -\tfrac{9}{10}\cos t \;-\;\tfrac{3}{10}\sin t.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_{h}(t) + y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{-t/2} + \bigl(t^{2}-6t+14\bigr) - \tfrac{9}{10}\cos t - \tfrac{3}{10}\sin t.

Resposta

y(t) = C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{-t/2} + t^{2} - 6t + 14 - \frac{9}{10}\cos t - \frac{3}{10}\sin t.

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