Use o método do Problema 33 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear inhomogênea de segunda ordem
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em achar uma solução geral como
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma particular ajustada ao termo forçante.
Passo 2
Para obter
, escrevemos a equação característica de
Calculamos as raízes:
logo
Portanto
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo polinomial
. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
Então
Substituindo em
obtemos
Queremos isto igual a
, isto é,
Logo
Assim
Passo 4
Para o termo
usamos outra parte particular
na forma
Calculamos
No lado esquerdo:
Isto deve igualar a
, ou seja,
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Assim
Passo 5
A solução geral é