Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, temos a equação diferencial
com
e uma solução conhecida
. Vamos usar o método de Redução de Ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução independente quando já conhecemos uma solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem, que é
. Dividindo toda a equação por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
O método de Redução de Ordem nos diz que, se já conhecemos uma solução
, podemos encontrar uma segunda solução
usando a fórmula:
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula de
:
Passo 6
Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar para encontrar uma solução particular.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos simplificar isso para obter uma solução mais elegante.
Resposta
Uma segunda solução da equação diferencial é
.