Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(d) t y'' + y' = 0, t > 0; y1(t) = ln(t)

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial com e uma solução conhecida . Vamos usar o método de Redução de Ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução independente quando já conhecemos uma solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem, que é . Dividindo toda a equação por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

O método de Redução de Ordem nos diz que, se já conhecemos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução usando a fórmula:
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula de :

Passo 6

Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja , então . A integral fica:

Passo 7

Resolvendo a integral:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para encontrar uma solução particular.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos simplificar isso para obter uma solução mais elegante.

Resposta

Uma segunda solução da equação diferencial é .

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