Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
f(x) = 3x / (x^2 + x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências, frações parciais e geometria das séries. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função . Essa simplificação facilita o processo de encontrar a série de potências. Para isso, vamos fatorar o denominador.

Passo 3

Fatorando o denominador , buscamos dois números que multiplicados dão -2 e que somados dão +1. Esses números são +2 e -1. Assim, a fatoração fica:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos realizar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar como a soma de duas frações simples. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Escolhendo :
Escolhendo :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora que temos a função decomposta, vamos expressar cada termo como uma série de potências. Para isso, vamos reescrever cada fração de uma forma que se assemelhe à soma de uma série geométrica.
Vamos começar com o primeiro termo, . Podemos reescrever como:
Sabemos que pode ser expandido como uma série geométrica quando . Então, para , ou seja, , temos:
Multiplicando por 1, a série fica:
Agora, vamos para o segundo termo, . Reescrevemos como:
Novamente, usando a série geométrica:
Portanto:

Passo 6

Agora, juntando as duas séries que encontramos, temos:
Podemos escrever isso como:

Passo 7

Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série de potências encontrada. Temos duas séries:
  1. convergirá quando , ou seja, .
  2. convergirá quando .
Para que ambas as séries converjam simultaneamente, devemos considerar a interseção dos intervalos de convergência. Ou seja, .

Resposta

A representação em série de potências da função é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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