Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências, frações parciais e geometria das séries. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função . Essa simplificação facilita o processo de encontrar a série de potências. Para isso, vamos fatorar o denominador.
Passo 3
Fatorando o denominador , buscamos dois números que multiplicados dão -2 e que somados dão +1. Esses números são +2 e -1. Assim, a fatoração fica:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos realizar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar como a soma de duas frações simples. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Escolhendo :
Escolhendo :
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora que temos a função decomposta, vamos expressar cada termo como uma série de potências. Para isso, vamos reescrever cada fração de uma forma que se assemelhe à soma de uma série geométrica.
Vamos começar com o primeiro termo, . Podemos reescrever como:
Sabemos que pode ser expandido como uma série geométrica quando . Então, para , ou seja, , temos:
Multiplicando por 1, a série fica:
Agora, vamos para o segundo termo, . Reescrevemos como:
Novamente, usando a série geométrica:
Portanto:
Passo 6
Agora, juntando as duas séries que encontramos, temos:
Podemos escrever isso como:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série de potências encontrada. Temos duas séries:
convergirá quando , ou seja, .
convergirá quando .
Para que ambas as séries converjam simultaneamente, devemos considerar a interseção dos intervalos de convergência. Ou seja, .
Resposta
A representação em série de potências da função é: